Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34560 / 48378
↖ ↑ ↗
← S 64.760075°
E  9.843750°		 ← 260.45 m → S 64.760075°
E  9.849243°		 →
↑
260.45 m
↓
↑
260.45 m
↓
S 64.762417°
E  9.843750°		 ← 260.42 m →
67 829 m²		 S 64.762417°
E  9.849243°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48378 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527351379394531 y=0.738197326660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527351379394531 × 216)
    floor (0.527351379394531 × 65536)
    floor (34560.5)     		tx = 34560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738197326660156 × 216)
    floor (0.738197326660156 × 65536)
    floor (48378.5)     		ty = 48378
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34560 / 48378 ti = "16/34560/48378"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34560/48378.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34560 ÷ 216
    34560 ÷ 65536     		x = 0.52734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48378 ÷ 216
    48378 ÷ 65536     		y = 0.738189697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52734375 × 2 - 1) × π
    0.0546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.17180585
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738189697265625 × 2 - 1) × π
    -0.47637939453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.49659000613815
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17180585} λ = 0.17180585}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49659000613815))-π/2
    2×atan(0.223892331386002)-π/2
    2×0.220259897650338-π/2
    0.440519795300675-1.57079632675     		φ = -1.13027653
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17180585} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.843750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13027653 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.760075°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34560 KachelY 48378 0.17180585 -1.13027653 9.843750 -64.760075
    Oben rechts KachelX + 1 34561 KachelY 48378 0.17190172 -1.13027653 9.849243 -64.760075
    Unten links KachelX 34560 KachelY + 1 48379 0.17180585 -1.13031741 9.843750 -64.762417
    Unten rechts KachelX + 1 34561 KachelY + 1 48379 0.17190172 -1.13031741 9.849243 -64.762417
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13027653--1.13031741) × R
    4.08800000000209e-05 × 6371000     		dl = 260.446480000133m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13027653--1.13031741) × R
    4.08800000000209e-05 × 6371000     		dr = 260.446480000133m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17180585-0.17190172) × cos(-1.13027653) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.426409694517525 × 6371000     		do = 260.445826420735m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17180585-0.17190172) × cos(-1.13031741) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.42637271696915 × 6371000     		du = 260.423240986422m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13027653)-sin(-1.13031741))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.426409694517525-0.42637271696915)×R²
    abs(0.17190172-0.17180585)×3.69775483758938e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.69775483758938e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.69775483758938e-05×40589641000000     		ar = 67829.2575832556m²