Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3456 / 1116
↖ ↑ ↗
← N 78.384855°
W 28.125000°		 ← 983.83 m → N 78.384855°
W 28.081055°		 →
↑
984.26 m
↓
↑
984.26 m
↓
N 78.376004°
W 28.125000°		 ← 984.57 m →
968 705 m²		 N 78.376004°
W 28.081055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3456 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1116 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.42193603515625 y=0.13629150390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.42193603515625 × 213)
    floor (0.42193603515625 × 8192)
    floor (3456.5)     		tx = 3456
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.13629150390625 × 213)
    floor (0.13629150390625 × 8192)
    floor (1116.5)     		ty = 1116
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3456 / 1116 ti = "13/3456/1116"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3456/1116.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3456 ÷ 213
    3456 ÷ 8192     		x = 0.421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1116 ÷ 213
    1116 ÷ 8192     		y = 0.13623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421875 × 2 - 1) × π
    -0.15625 × 3.1415926535     		Λ = -0.49087385
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13623046875 × 2 - 1) × π
    0.7275390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.28563137388428
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49087385} λ = -0.49087385}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28563137388428))-π/2
    2×atan(9.83189186452784)-π/2
    2×1.46943506651837-π/2
    2.93887013303673-1.57079632675     		φ = 1.36807381
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49087385} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.125000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36807381 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.384855°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3456 KachelY 1116 -0.49087385 1.36807381 -28.125000 78.384855
    Oben rechts KachelX + 1 3457 KachelY 1116 -0.49010686 1.36807381 -28.081055 78.384855
    Unten links KachelX 3456 KachelY + 1 1117 -0.49087385 1.36791932 -28.125000 78.376004
    Unten rechts KachelX + 1 3457 KachelY + 1 1117 -0.49010686 1.36791932 -28.081055 78.376004
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36807381-1.36791932) × R
    0.000154490000000118 × 6371000     		dl = 984.255790000753m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36807381-1.36791932) × R
    0.000154490000000118 × 6371000     		dr = 984.255790000753m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49087385--0.49010686) × cos(1.36807381) × R
    0.000766990000000023 × 0.201336838939343 × 6371000     		do = 983.831112506941m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49087385--0.49010686) × cos(1.36791932) × R
    0.000766990000000023 × 0.201488162900009 × 6371000     		du = 984.570556025353m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36807381)-sin(1.36791932))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201336838939343-0.201488162900009)×R²
    abs(-0.49010686--0.49087385)×0.000151323960666194×R²
    0.000766990000000023×0.000151323960666194×6371000²
    0.000766990000000023×0.000151323960666194×40589641000000     		ar = 968705.371576504m²