Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34558 / 22267
↖ ↑ ↗
← N 49.855693°
E  9.832764°		 ← 393.78 m → N 49.855693°
E  9.838257°		 →
↑
393.79 m
↓
↑
393.79 m
↓
N 49.852152°
E  9.832764°		 ← 393.81 m →
155 074 m²		 N 49.852152°
E  9.838257°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34558 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22267 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527320861816406 y=0.339775085449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527320861816406 × 216)
    floor (0.527320861816406 × 65536)
    floor (34558.5)     		tx = 34558
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339775085449219 × 216)
    floor (0.339775085449219 × 65536)
    floor (22267.5)     		ty = 22267
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34558 / 22267 ti = "16/34558/22267"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34558/22267.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34558 ÷ 216
    34558 ÷ 65536     		x = 0.527313232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22267 ÷ 216
    22267 ÷ 65536     		y = 0.339767456054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527313232421875 × 2 - 1) × π
    0.05462646484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.17161410
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339767456054688 × 2 - 1) × π
    0.320465087890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.00677076582042
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17161410} λ = 0.17161410}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00677076582042))-π/2
    2×atan(2.7367491264785)-π/2
    2×1.22047116305956-π/2
    2.44094232611912-1.57079632675     		φ = 0.87014600
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17161410} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.832764°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87014600 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.855693°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34558 KachelY 22267 0.17161410 0.87014600 9.832764 49.855693
    Oben rechts KachelX + 1 34559 KachelY 22267 0.17170997 0.87014600 9.838257 49.855693
    Unten links KachelX 34558 KachelY + 1 22268 0.17161410 0.87008419 9.832764 49.852152
    Unten rechts KachelX + 1 34559 KachelY + 1 22268 0.17170997 0.87008419 9.838257 49.852152
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87014600-0.87008419) × R
    6.180999999994e-05 × 6371000     		dl = 393.791509999618m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87014600-0.87008419) × R
    6.180999999994e-05 × 6371000     		dr = 393.791509999618m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17161410-0.17170997) × cos(0.87014600) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.644714948343031 × 6371000     		do = 393.784005584096m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17161410-0.17170997) × cos(0.87008419) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.644762196101618 × 6371000     		du = 393.812863937201m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87014600)-sin(0.87008419))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644714948343031-0.644762196101618)×R²
    abs(0.17170997-0.17161410)×4.72477585873321e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.72477585873321e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.72477585873321e-05×40589641000000     		ar = 155074.480309155m²