Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34557 / 48296
↖ ↑ ↗
← S 64.567319°
E  9.827271°		 ← 262.30 m → S 64.567319°
E  9.832764°		 →
↑
262.29 m
↓
↑
262.29 m
↓
S 64.569678°
E  9.827271°		 ← 262.28 m →
68 798 m²		 S 64.569678°
E  9.832764°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34557 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48296 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527305603027344 y=0.736946105957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527305603027344 × 216)
    floor (0.527305603027344 × 65536)
    floor (34557.5)     		tx = 34557
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736946105957031 × 216)
    floor (0.736946105957031 × 65536)
    floor (48296.5)     		ty = 48296
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34557 / 48296 ti = "16/34557/48296"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34557/48296.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34557 ÷ 216
    34557 ÷ 65536     		x = 0.527297973632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48296 ÷ 216
    48296 ÷ 65536     		y = 0.7369384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527297973632812 × 2 - 1) × π
    0.054595947265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.17151823
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7369384765625 × 2 - 1) × π
    -0.473876953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.48872835460046
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17151823} λ = 0.17151823}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48872835460046))-π/2
    2×atan(0.225659431940337)-π/2
    2×0.2219420104526-π/2
    0.4438840209052-1.57079632675     		φ = -1.12691231
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17151823} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.827271°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12691231 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.567319°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34557 KachelY 48296 0.17151823 -1.12691231 9.827271 -64.567319
    Oben rechts KachelX + 1 34558 KachelY 48296 0.17161410 -1.12691231 9.832764 -64.567319
    Unten links KachelX 34557 KachelY + 1 48297 0.17151823 -1.12695348 9.827271 -64.569678
    Unten rechts KachelX + 1 34558 KachelY + 1 48297 0.17161410 -1.12695348 9.832764 -64.569678
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12691231--1.12695348) × R
    4.11700000000348e-05 × 6371000     		dl = 262.294070000222m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12691231--1.12695348) × R
    4.11700000000348e-05 × 6371000     		dr = 262.294070000222m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17151823-0.17161410) × cos(-1.12691231) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.429450314116585 × 6371000     		do = 262.302999685063m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17151823-0.17161410) × cos(-1.12695348) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.429413133517293 × 6371000     		du = 262.280290229734m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12691231)-sin(-1.12695348))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.429450314116585-0.429413133517293)×R²
    abs(0.17161410-0.17151823)×3.71805992916974e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.71805992916974e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.71805992916974e-05×40589641000000     		ar = 68797.5430927071m²