Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34553 / 36514
↖ ↑ ↗
← S 20.148785°
E  9.805298°		 ← 573.47 m → S 20.148785°
E  9.810791°		 →
↑
573.45 m
↓
↑
573.45 m
↓
S 20.153942°
E  9.805298°		 ← 573.45 m →
328 852 m²		 S 20.153942°
E  9.810791°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34553 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36514 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527244567871094 y=0.557167053222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527244567871094 × 216)
    floor (0.527244567871094 × 65536)
    floor (34553.5)     		tx = 34553
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.557167053222656 × 216)
    floor (0.557167053222656 × 65536)
    floor (36514.5)     		ty = 36514
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34553 / 36514 ti = "16/34553/36514"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34553/36514.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34553 ÷ 216
    34553 ÷ 65536     		x = 0.527236938476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36514 ÷ 216
    36514 ÷ 65536     		y = 0.557159423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527236938476562 × 2 - 1) × π
    0.054473876953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.17113473
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.557159423828125 × 2 - 1) × π
    -0.11431884765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.359143251953461
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17113473} λ = 0.17113473}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.359143251953461))-π/2
    2×atan(0.698274315026866)-π/2
    2×0.609566847349017-π/2
    1.21913369469803-1.57079632675     		φ = -0.35166263
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17113473} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.805298°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35166263 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.148785°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34553 KachelY 36514 0.17113473 -0.35166263 9.805298 -20.148785
    Oben rechts KachelX + 1 34554 KachelY 36514 0.17123061 -0.35166263 9.810791 -20.148785
    Unten links KachelX 34553 KachelY + 1 36515 0.17113473 -0.35175264 9.805298 -20.153942
    Unten rechts KachelX + 1 34554 KachelY + 1 36515 0.17123061 -0.35175264 9.810791 -20.153942
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35166263--0.35175264) × R
    9.00100000000292e-05 × 6371000     		dl = 573.453710000186m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35166263--0.35175264) × R
    9.00100000000292e-05 × 6371000     		dr = 573.453710000186m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17113473-0.17123061) × cos(-0.35166263) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.938801302556646 × 6371000     		do = 573.468165092611m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17113473-0.17123061) × cos(-0.35175264) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.938770293984522 × 6371000     		du = 573.449223460436m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35166263)-sin(-0.35175264))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938801302556646-0.938770293984522)×R²
    abs(0.17123061-0.17113473)×3.10085721242359e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.10085721242359e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.10085721242359e-05×40589641000000     		ar = 328852.015986752m²