Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34552 / 22112
↖ ↑ ↗
← N 50.401515°
E  9.799805°		 ← 389.32 m → N 50.401515°
E  9.805298°		 →
↑
389.33 m
↓
↑
389.33 m
↓
N 50.398014°
E  9.799805°		 ← 389.35 m →
151 580 m²		 N 50.398014°
E  9.805298°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22112 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527229309082031 y=0.337409973144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527229309082031 × 216)
    floor (0.527229309082031 × 65536)
    floor (34552.5)     		tx = 34552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337409973144531 × 216)
    floor (0.337409973144531 × 65536)
    floor (22112.5)     		ty = 22112
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34552 / 22112 ti = "16/34552/22112"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34552/22112.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34552 ÷ 216
    34552 ÷ 65536     		x = 0.5272216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22112 ÷ 216
    22112 ÷ 65536     		y = 0.33740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5272216796875 × 2 - 1) × π
    0.054443359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.17103886
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33740234375 × 2 - 1) × π
    0.3251953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.02163120470264
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17103886} λ = 0.17103886}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02163120470264))-π/2
    2×atan(2.77772210380975)-π/2
    2×1.2252343585766-π/2
    2.45046871715321-1.57079632675     		φ = 0.87967239
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17103886} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.799805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87967239 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.401515°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34552 KachelY 22112 0.17103886 0.87967239 9.799805 50.401515
    Oben rechts KachelX + 1 34553 KachelY 22112 0.17113473 0.87967239 9.805298 50.401515
    Unten links KachelX 34552 KachelY + 1 22113 0.17103886 0.87961128 9.799805 50.398014
    Unten rechts KachelX + 1 34553 KachelY + 1 22113 0.17113473 0.87961128 9.805298 50.398014
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87967239-0.87961128) × R
    6.11099999999754e-05 × 6371000     		dl = 389.331809999843m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87967239-0.87961128) × R
    6.11099999999754e-05 × 6371000     		dr = 389.331809999843m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17103886-0.17113473) × cos(0.87967239) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.637403611766001 × 6371000     		do = 389.318330620606m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17103886-0.17113473) × cos(0.87961128) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.637450697670241 × 6371000     		du = 389.347090115055m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87967239)-sin(0.87961128))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.637403611766001-0.637450697670241)×R²
    abs(0.17113473-0.17103886)×4.70859042391858e-05×R²
    9.58700000000257e-05×4.70859042391858e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×4.70859042391858e-05×40589641000000     		ar = 151579.608866426m²