Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34551 / 36515
↖ ↑ ↗
← S 20.153942°
E  9.794311°		 ← 573.45 m → S 20.153942°
E  9.799805°		 →
↑
573.39 m
↓
↑
573.39 m
↓
S 20.159098°
E  9.794311°		 ← 573.43 m →
328 805 m²		 S 20.159098°
E  9.799805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34551 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36515 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527214050292969 y=0.557182312011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527214050292969 × 216)
    floor (0.527214050292969 × 65536)
    floor (34551.5)     		tx = 34551
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.557182312011719 × 216)
    floor (0.557182312011719 × 65536)
    floor (36515.5)     		ty = 36515
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34551 / 36515 ti = "16/34551/36515"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34551/36515.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34551 ÷ 216
    34551 ÷ 65536     		x = 0.527206420898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36515 ÷ 216
    36515 ÷ 65536     		y = 0.557174682617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527206420898438 × 2 - 1) × π
    0.054412841796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.17094298
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.557174682617188 × 2 - 1) × π
    -0.114349365234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.359239125752701
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17094298} λ = 0.17094298}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.359239125752701))-π/2
    2×atan(0.698207372024464)-π/2
    2×0.609521844868407-π/2
    1.21904368973681-1.57079632675     		φ = -0.35175264
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17094298} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.794311°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35175264 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.153942°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34551 KachelY 36515 0.17094298 -0.35175264 9.794311 -20.153942
    Oben rechts KachelX + 1 34552 KachelY 36515 0.17103886 -0.35175264 9.799805 -20.153942
    Unten links KachelX 34551 KachelY + 1 36516 0.17094298 -0.35184264 9.794311 -20.159098
    Unten rechts KachelX + 1 34552 KachelY + 1 36516 0.17103886 -0.35184264 9.799805 -20.159098
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35175264--0.35184264) × R
    8.9999999999979e-05 × 6371000     		dl = 573.389999999866m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35175264--0.35184264) × R
    8.9999999999979e-05 × 6371000     		dr = 573.389999999866m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17094298-0.17103886) × cos(-0.35175264) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.938770293984522 × 6371000     		do = 573.449223460436m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17094298-0.17103886) × cos(-0.35184264) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.93873928125295 × 6371000     		du = 573.430279287457m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35175264)-sin(-0.35184264))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938770293984522-0.93873928125295)×R²
    abs(0.17103886-0.17094298)×3.10127315719111e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.10127315719111e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.10127315719111e-05×40589641000000     		ar = 328804.619262321m²