Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34550 / 48268
↖ ↑ ↗
← S 64.501186°
E  9.788818°		 ← 262.94 m → S 64.501186°
E  9.794311°		 →
↑
262.93 m
↓
↑
262.93 m
↓
S 64.503550°
E  9.788818°		 ← 262.92 m →
69 132 m²		 S 64.503550°
E  9.794311°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34550 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48268 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527198791503906 y=0.736518859863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527198791503906 × 216)
    floor (0.527198791503906 × 65536)
    floor (34550.5)     		tx = 34550
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736518859863281 × 216)
    floor (0.736518859863281 × 65536)
    floor (48268.5)     		ty = 48268
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34550 / 48268 ti = "16/34550/48268"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34550/48268.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34550 ÷ 216
    34550 ÷ 65536     		x = 0.527191162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48268 ÷ 216
    48268 ÷ 65536     		y = 0.73651123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527191162109375 × 2 - 1) × π
    0.05438232421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.17084711
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73651123046875 × 2 - 1) × π
    -0.4730224609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.48604388822174
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17084711} λ = 0.17084711}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48604388822174))-π/2
    2×atan(0.226266020918006)-π/2
    2×0.2225191320744-π/2
    0.4450382641488-1.57079632675     		φ = -1.12575806
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17084711} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.788818°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12575806 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.501186°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34550 KachelY 48268 0.17084711 -1.12575806 9.788818 -64.501186
    Oben rechts KachelX + 1 34551 KachelY 48268 0.17094298 -1.12575806 9.794311 -64.501186
    Unten links KachelX 34550 KachelY + 1 48269 0.17084711 -1.12579933 9.788818 -64.503550
    Unten rechts KachelX + 1 34551 KachelY + 1 48269 0.17094298 -1.12579933 9.794311 -64.503550
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12575806--1.12579933) × R
    4.12700000000932e-05 × 6371000     		dl = 262.931170000594m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12575806--1.12579933) × R
    4.12700000000932e-05 × 6371000     		dr = 262.931170000594m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17084711-0.17094298) × cos(-1.12575806) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.430492420002935 × 6371000     		do = 262.93950521549m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17084711-0.17094298) × cos(-1.12579933) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.430455169574011 × 6371000     		du = 262.916753109076m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12575806)-sin(-1.12579933))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430492420002935-0.430455169574011)×R²
    abs(0.17094298-0.17084711)×3.72504289237741e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.72504289237741e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.72504289237741e-05×40589641000000     		ar = 69132.0006366822m²