Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 3455 / 1152
↖ ↑ ↗
← N 82.308893°
W104.084473°		 ← 326.99 m → N 82.308893°
W104.062500°		 →
↑
327.09 m
↓
↑
327.09 m
↓
N 82.305951°
W104.084473°		 ← 327.11 m →
106 974 m²		 N 82.305951°
W104.062500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3455 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1152 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.210906982421875 y=0.070343017578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.210906982421875 × 214)
    floor (0.210906982421875 × 16384)
    floor (3455.5)     		tx = 3455
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.070343017578125 × 214)
    floor (0.070343017578125 × 16384)
    floor (1152.5)     		ty = 1152
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3455 / 1152 ti = "14/3455/1152"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3455/1152.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3455 ÷ 214
    3455 ÷ 16384     		x = 0.21087646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1152 ÷ 214
    1152 ÷ 16384     		y = 0.0703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.21087646484375 × 2 - 1) × π
    -0.5782470703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.81661675
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0703125 × 2 - 1) × π
    0.859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.69980618660156
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.81661675} λ = -1.81661675}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.69980618660156))-π/2
    2×atan(14.8768481129497)-π/2
    2×1.50367875244878-π/2
    3.00735750489756-1.57079632675     		φ = 1.43656118
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.81661675} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -104.084473°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43656118 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.308893°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3455 KachelY 1152 -1.81661675 1.43656118 -104.084473 82.308893
    Oben rechts KachelX + 1 3456 KachelY 1152 -1.81623325 1.43656118 -104.062500 82.308893
    Unten links KachelX 3455 KachelY + 1 1153 -1.81661675 1.43650984 -104.084473 82.305951
    Unten rechts KachelX + 1 3456 KachelY + 1 1153 -1.81623325 1.43650984 -104.062500 82.305951
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43656118-1.43650984) × R
    5.13399999999553e-05 × 6371000     		dl = 327.087139999715m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43656118-1.43650984) × R
    5.13399999999553e-05 × 6371000     		dr = 327.087139999715m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.81661675--1.81623325) × cos(1.43656118) × R
    0.00038349999999987 × 0.133832377654437 × 6371000     		do = 326.989770926856m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.81661675--1.81623325) × cos(1.43650984) × R
    0.00038349999999987 × 0.133883255622534 × 6371000     		du = 327.114079972432m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43656118)-sin(1.43650984))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133832377654437-0.133883255622534)×R²
    abs(-1.81623325--1.81661675)×5.08779680969962e-05×R²
    0.00038349999999987×5.08779680969962e-05×6371000²
    0.00038349999999987×5.08779680969962e-05×40589641000000     		ar = 106974.478951756m²