Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34545 / 35054
↖ ↑ ↗
← S 12.458033°
E  9.761352°		 ← 596.47 m → S 12.458033°
E  9.766846°		 →
↑
596.39 m
↓
↑
596.39 m
↓
S 12.463396°
E  9.761352°		 ← 596.46 m →
355 724 m²		 S 12.463396°
E  9.766846°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34545 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35054 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527122497558594 y=0.534889221191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527122497558594 × 216)
    floor (0.527122497558594 × 65536)
    floor (34545.5)     		tx = 34545
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.534889221191406 × 216)
    floor (0.534889221191406 × 65536)
    floor (35054.5)     		ty = 35054
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34545 / 35054 ti = "16/34545/35054"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34545/35054.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34545 ÷ 216
    34545 ÷ 65536     		x = 0.527114868164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35054 ÷ 216
    35054 ÷ 65536     		y = 0.534881591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527114868164062 × 2 - 1) × π
    0.054229736328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.17036774
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.534881591796875 × 2 - 1) × π
    -0.06976318359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.219167505062897
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17036774} λ = 0.17036774}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.219167505062897))-π/2
    2×atan(0.80318716896785)-π/2
    2×0.6766813187611-π/2
    1.3533626375222-1.57079632675     		φ = -0.21743369
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17036774} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.761352°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.21743369 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -12.458033°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34545 KachelY 35054 0.17036774 -0.21743369 9.761352 -12.458033
    Oben rechts KachelX + 1 34546 KachelY 35054 0.17046362 -0.21743369 9.766846 -12.458033
    Unten links KachelX 34545 KachelY + 1 35055 0.17036774 -0.21752730 9.761352 -12.463396
    Unten rechts KachelX + 1 34546 KachelY + 1 35055 0.17046362 -0.21752730 9.766846 -12.463396
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.21743369--0.21752730) × R
    9.3609999999994e-05 × 6371000     		dl = 596.389309999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.21743369--0.21752730) × R
    9.3609999999994e-05 × 6371000     		dr = 596.389309999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17036774-0.17046362) × cos(-0.21743369) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.976454279977193 × 6371000     		do = 596.46854207653m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17036774-0.17046362) × cos(-0.21752730) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.976434081733035 × 6371000     		du = 596.456203949192m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.21743369)-sin(-0.21752730))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.976454279977193-0.976434081733035)×R²
    abs(0.17046362-0.17036774)×2.01982441581094e-05×R²
    9.58800000000204e-05×2.01982441581094e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×2.01982441581094e-05×40589641000000     		ar = 355723.783341836m²