Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34542 / 35053
↖ ↑ ↗
← S 12.452669°
E  9.744873°		 ← 596.42 m → S 12.452669°
E  9.750366°		 →
↑
596.45 m
↓
↑
596.45 m
↓
S 12.458033°
E  9.744873°		 ← 596.41 m →
355 732 m²		 S 12.458033°
E  9.750366°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34542 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35053 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527076721191406 y=0.534873962402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527076721191406 × 216)
    floor (0.527076721191406 × 65536)
    floor (34542.5)     		tx = 34542
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.534873962402344 × 216)
    floor (0.534873962402344 × 65536)
    floor (35053.5)     		ty = 35053
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34542 / 35053 ti = "16/34542/35053"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34542/35053.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34542 ÷ 216
    34542 ÷ 65536     		x = 0.527069091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35053 ÷ 216
    35053 ÷ 65536     		y = 0.534866333007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527069091796875 × 2 - 1) × π
    0.05413818359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.17008012
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.534866333007812 × 2 - 1) × π
    -0.069732666015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.219071631263657
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17008012} λ = 0.17008012}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.219071631263657))-π/2
    2×atan(0.80326417726472)-π/2
    2×0.676728127435897-π/2
    1.35345625487179-1.57079632675     		φ = -0.21734007
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17008012} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.744873°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.21734007 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -12.452669°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34542 KachelY 35053 0.17008012 -0.21734007 9.744873 -12.452669
    Oben rechts KachelX + 1 34543 KachelY 35053 0.17017599 -0.21734007 9.750366 -12.452669
    Unten links KachelX 34542 KachelY + 1 35054 0.17008012 -0.21743369 9.744873 -12.458033
    Unten rechts KachelX + 1 34543 KachelY + 1 35054 0.17017599 -0.21743369 9.750366 -12.458033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.21734007--0.21743369) × R
    9.36200000000165e-05 × 6371000     		dl = 596.453020000105m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.21734007--0.21743369) × R
    9.36200000000165e-05 × 6371000     		dr = 596.453020000105m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17008012-0.17017599) × cos(-0.21734007) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.976474471821177 × 6371000     		do = 596.418665105571m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17008012-0.17017599) × cos(-0.21743369) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.976454279977193 × 6371000     		du = 596.406332174212m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.21734007)-sin(-0.21743369))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.976474471821177-0.976454279977193)×R²
    abs(0.17017599-0.17008012)×2.0191843983608e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.0191843983608e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.0191843983608e-05×40589641000000     		ar = 355732.036239406m²