Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34541 / 36549
↖ ↑ ↗
← S 20.329175°
E  9.739380°		 ← 572.74 m → S 20.329175°
E  9.744873°		 →
↑
572.75 m
↓
↑
572.75 m
↓
S 20.334325°
E  9.739380°		 ← 572.72 m →
328 035 m²		 S 20.334325°
E  9.744873°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34541 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36549 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527061462402344 y=0.557701110839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527061462402344 × 216)
    floor (0.527061462402344 × 65536)
    floor (34541.5)     		tx = 34541
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.557701110839844 × 216)
    floor (0.557701110839844 × 65536)
    floor (36549.5)     		ty = 36549
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34541 / 36549 ti = "16/34541/36549"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34541/36549.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34541 ÷ 216
    34541 ÷ 65536     		x = 0.527053833007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36549 ÷ 216
    36549 ÷ 65536     		y = 0.557693481445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527053833007812 × 2 - 1) × π
    0.054107666015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.16998425
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.557693481445312 × 2 - 1) × π
    -0.115386962890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.362498834926865
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16998425} λ = 0.16998425}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.362498834926865))-π/2
    2×atan(0.695935124493487)-π/2
    2×0.607992647073903-π/2
    1.21598529414781-1.57079632675     		φ = -0.35481103
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16998425} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.739380°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35481103 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.329175°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34541 KachelY 36549 0.16998425 -0.35481103 9.739380 -20.329175
    Oben rechts KachelX + 1 34542 KachelY 36549 0.17008012 -0.35481103 9.744873 -20.329175
    Unten links KachelX 34541 KachelY + 1 36550 0.16998425 -0.35490093 9.739380 -20.334325
    Unten rechts KachelX + 1 34542 KachelY + 1 36550 0.17008012 -0.35490093 9.744873 -20.334325
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35481103--0.35490093) × R
    8.98999999999761e-05 × 6371000     		dl = 572.752899999848m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35481103--0.35490093) × R
    8.98999999999761e-05 × 6371000     		dr = 572.752899999848m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16998425-0.17008012) × cos(-0.35481103) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.937712156228758 × 6371000     		do = 572.743116804842m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16998425-0.17008012) × cos(-0.35490093) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.93768091999534 × 6371000     		du = 572.72403809549m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35481103)-sin(-0.35490093))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.937712156228758-0.93768091999534)×R²
    abs(0.17008012-0.16998425)×3.12362334178307e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.12362334178307e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.12362334178307e-05×40589641000000     		ar = 328034.81763267m²