Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34541 / 36517
↖ ↑ ↗
← S 20.164255°
E  9.739380°		 ← 573.35 m → S 20.164255°
E  9.744873°		 →
↑
573.33 m
↓
↑
573.33 m
↓
S 20.169411°
E  9.739380°		 ← 573.33 m →
328 712 m²		 S 20.169411°
E  9.744873°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34541 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36517 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527061462402344 y=0.557212829589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527061462402344 × 216)
    floor (0.527061462402344 × 65536)
    floor (34541.5)     		tx = 34541
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.557212829589844 × 216)
    floor (0.557212829589844 × 65536)
    floor (36517.5)     		ty = 36517
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34541 / 36517 ti = "16/34541/36517"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34541/36517.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34541 ÷ 216
    34541 ÷ 65536     		x = 0.527053833007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36517 ÷ 216
    36517 ÷ 65536     		y = 0.557205200195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527053833007812 × 2 - 1) × π
    0.054107666015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.16998425
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.557205200195312 × 2 - 1) × π
    -0.114410400390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.359430873351181
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16998425} λ = 0.16998425}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.359430873351181))-π/2
    2×atan(0.698073505272361)-π/2
    2×0.609431844367091-π/2
    1.21886368873418-1.57079632675     		φ = -0.35193264
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16998425} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.739380°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35193264 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.164255°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34541 KachelY 36517 0.16998425 -0.35193264 9.739380 -20.164255
    Oben rechts KachelX + 1 34542 KachelY 36517 0.17008012 -0.35193264 9.744873 -20.164255
    Unten links KachelX 34541 KachelY + 1 36518 0.16998425 -0.35202263 9.739380 -20.169411
    Unten rechts KachelX + 1 34542 KachelY + 1 36518 0.17008012 -0.35202263 9.744873 -20.169411
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35193264--0.35202263) × R
    8.99899999999842e-05 × 6371000     		dl = 573.3262899999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35193264--0.35202263) × R
    8.99899999999842e-05 × 6371000     		dr = 573.3262899999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16998425-0.17008012) × cos(-0.35193264) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.93870826091759 × 6371000     		do = 573.35152536642m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16998425-0.17008012) × cos(-0.35202263) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.938677236426664 × 6371000     		du = 573.332575986792m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35193264)-sin(-0.35202263))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.93870826091759-0.938677236426664)×R²
    abs(0.17008012-0.16998425)×3.10244909258461e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.10244909258461e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.10244909258461e-05×40589641000000     		ar = 328712.071037225m²