Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34541 / 35058
↖ ↑ ↗
← S 12.479487°
E  9.739380°		 ← 596.36 m → S 12.479487°
E  9.744873°		 →
↑
596.39 m
↓
↑
596.39 m
↓
S 12.484851°
E  9.739380°		 ← 596.34 m →
355 657 m²		 S 12.484851°
E  9.744873°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34541 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35058 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527061462402344 y=0.534950256347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527061462402344 × 216)
    floor (0.527061462402344 × 65536)
    floor (34541.5)     		tx = 34541
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.534950256347656 × 216)
    floor (0.534950256347656 × 65536)
    floor (35058.5)     		ty = 35058
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34541 / 35058 ti = "16/34541/35058"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34541/35058.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34541 ÷ 216
    34541 ÷ 65536     		x = 0.527053833007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35058 ÷ 216
    35058 ÷ 65536     		y = 0.534942626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527053833007812 × 2 - 1) × π
    0.054107666015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.16998425
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.534942626953125 × 2 - 1) × π
    -0.06988525390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.219551000259857
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16998425} λ = 0.16998425}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.219551000259857))-π/2
    2×atan(0.802879209600534)-π/2
    2×0.676494093746838-π/2
    1.35298818749368-1.57079632675     		φ = -0.21780814
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16998425} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.739380°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.21780814 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -12.479487°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34541 KachelY 35058 0.16998425 -0.21780814 9.739380 -12.479487
    Oben rechts KachelX + 1 34542 KachelY 35058 0.17008012 -0.21780814 9.744873 -12.479487
    Unten links KachelX 34541 KachelY + 1 35059 0.16998425 -0.21790175 9.739380 -12.484851
    Unten rechts KachelX + 1 34542 KachelY + 1 35059 0.17008012 -0.21790175 9.744873 -12.484851
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.21780814--0.21790175) × R
    9.3609999999994e-05 × 6371000     		dl = 596.389309999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.21780814--0.21790175) × R
    9.3609999999994e-05 × 6371000     		dr = 596.389309999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16998425-0.17008012) × cos(-0.21780814) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.976373433502401 × 6371000     		do = 596.356952136162m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16998425-0.17008012) × cos(-0.21790175) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.97635320103308 × 6371000     		du = 596.344594391344m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.21780814)-sin(-0.21790175))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.976373433502401-0.97635320103308)×R²
    abs(0.17008012-0.16998425)×2.02324693210354e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.02324693210354e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.02324693210354e-05×40589641000000     		ar = 355657.22644444m²