Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34541 / 32394
↖ ↑ ↗
← N  2.054003°
E  9.739380°		 ← 610.40 m → N  2.054003°
E  9.744873°		 →
↑
610.41 m
↓
↑
610.41 m
↓
N  2.048514°
E  9.739380°		 ← 610.40 m →
372 589 m²		 N  2.048514°
E  9.744873°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34541 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32394 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527061462402344 y=0.494300842285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527061462402344 × 216)
    floor (0.527061462402344 × 65536)
    floor (34541.5)     		tx = 34541
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.494300842285156 × 216)
    floor (0.494300842285156 × 65536)
    floor (32394.5)     		ty = 32394
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34541 / 32394 ti = "16/34541/32394"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34541/32394.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34541 ÷ 216
    34541 ÷ 65536     		x = 0.527053833007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32394 ÷ 216
    32394 ÷ 65536     		y = 0.494293212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527053833007812 × 2 - 1) × π
    0.054107666015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.16998425
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.494293212890625 × 2 - 1) × π
    0.01141357421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.035856800915802
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16998425} λ = 0.16998425}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.035856800915802))-π/2
    2×atan(1.03650740895139)-π/2
    2×0.803322723301939-π/2
    1.60664544660388-1.57079632675     		φ = 0.03584912
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16998425} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.739380°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.03584912 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.054003°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34541 KachelY 32394 0.16998425 0.03584912 9.739380 2.054003
    Oben rechts KachelX + 1 34542 KachelY 32394 0.17008012 0.03584912 9.744873 2.054003
    Unten links KachelX 34541 KachelY + 1 32395 0.16998425 0.03575331 9.739380 2.048514
    Unten rechts KachelX + 1 34542 KachelY + 1 32395 0.17008012 0.03575331 9.744873 2.048514
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.03584912-0.03575331) × R
    9.58099999999948e-05 × 6371000     		dl = 610.405509999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.03584912-0.03575331) × R
    9.58099999999948e-05 × 6371000     		dr = 610.405509999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16998425-0.17008012) × cos(0.03584912) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999357489112777 × 6371000     		do = 610.395332207979m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16998425-0.17008012) × cos(0.03575331) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999360918494487 × 6371000     		du = 610.397426832386m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.03584912)-sin(0.03575331))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999357489112777-0.999360918494487)×R²
    abs(0.17008012-0.16998425)×3.42938170971863e-06×R²
    9.58699999999979e-05×3.42938170971863e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.42938170971863e-06×40589641000000     		ar = 372589.313628182m²