Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34540 / 36552
↖ ↑ ↗
← S 20.344627°
E  9.733887°		 ← 572.75 m → S 20.344627°
E  9.739380°		 →
↑
572.69 m
↓
↑
572.69 m
↓
S 20.349778°
E  9.733887°		 ← 572.73 m →
328 000 m²		 S 20.349778°
E  9.739380°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34540 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36552 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527046203613281 y=0.557746887207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527046203613281 × 216)
    floor (0.527046203613281 × 65536)
    floor (34540.5)     		tx = 34540
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.557746887207031 × 216)
    floor (0.557746887207031 × 65536)
    floor (36552.5)     		ty = 36552
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34540 / 36552 ti = "16/34540/36552"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34540/36552.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34540 ÷ 216
    34540 ÷ 65536     		x = 0.52703857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36552 ÷ 216
    36552 ÷ 65536     		y = 0.5577392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52703857421875 × 2 - 1) × π
    0.0540771484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.16988837
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5577392578125 × 2 - 1) × π
    -0.115478515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.362786456324585
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16988837} λ = 0.16988837}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.362786456324585))-π/2
    2×atan(0.695734987443486)-π/2
    2×0.60785780077242-π/2
    1.21571560154484-1.57079632675     		φ = -0.35508073
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16988837} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.733887°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35508073 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.344627°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34540 KachelY 36552 0.16988837 -0.35508073 9.733887 -20.344627
    Oben rechts KachelX + 1 34541 KachelY 36552 0.16998425 -0.35508073 9.739380 -20.344627
    Unten links KachelX 34540 KachelY + 1 36553 0.16988837 -0.35517062 9.733887 -20.349778
    Unten rechts KachelX + 1 34541 KachelY + 1 36553 0.16998425 -0.35517062 9.739380 -20.349778
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35508073--0.35517062) × R
    8.98899999999814e-05 × 6371000     		dl = 572.689189999881m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35508073--0.35517062) × R
    8.98899999999814e-05 × 6371000     		dr = 572.689189999881m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16988837-0.16998425) × cos(-0.35508073) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.937618424793717 × 6371000     		do = 572.745602460467m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16988837-0.16998425) × cos(-0.35517062) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.937587169303521 × 6371000     		du = 572.726509998022m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35508073)-sin(-0.35517062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.937618424793717-0.937587169303521)×R²
    abs(0.16998425-0.16988837)×3.12554901965578e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.12554901965578e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.12554901965578e-05×40589641000000     		ar = 327999.748346458m²