Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34539 / 36511
↖ ↑ ↗
← S 20.133313°
E  9.728394°		 ← 573.47 m → S 20.133313°
E  9.733887°		 →
↑
573.45 m
↓
↑
573.45 m
↓
S 20.138470°
E  9.728394°		 ← 573.45 m →
328 850 m²		 S 20.138470°
E  9.733887°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34539 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36511 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527030944824219 y=0.557121276855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527030944824219 × 216)
    floor (0.527030944824219 × 65536)
    floor (34539.5)     		tx = 34539
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.557121276855469 × 216)
    floor (0.557121276855469 × 65536)
    floor (36511.5)     		ty = 36511
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34539 / 36511 ti = "16/34539/36511"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34539/36511.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34539 ÷ 216
    34539 ÷ 65536     		x = 0.527023315429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36511 ÷ 216
    36511 ÷ 65536     		y = 0.557113647460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527023315429688 × 2 - 1) × π
    0.054046630859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.16979250
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.557113647460938 × 2 - 1) × π
    -0.114227294921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.35885563055574
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16979250} λ = 0.16979250}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.35885563055574))-π/2
    2×atan(0.69847518254686)-π/2
    2×0.609701863706867-π/2
    1.21940372741373-1.57079632675     		φ = -0.35139260
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16979250} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.728394°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35139260 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.133313°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34539 KachelY 36511 0.16979250 -0.35139260 9.728394 -20.133313
    Oben rechts KachelX + 1 34540 KachelY 36511 0.16988837 -0.35139260 9.733887 -20.133313
    Unten links KachelX 34539 KachelY + 1 36512 0.16979250 -0.35148261 9.728394 -20.138470
    Unten rechts KachelX + 1 34540 KachelY + 1 36512 0.16988837 -0.35148261 9.733887 -20.138470
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35139260--0.35148261) × R
    9.00099999999737e-05 × 6371000     		dl = 573.453709999833m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35139260--0.35148261) × R
    9.00099999999737e-05 × 6371000     		dr = 573.453709999833m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16979250-0.16988837) × cos(-0.35139260) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.938894282636131 × 6371000     		do = 573.46514515706m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16979250-0.16988837) × cos(-0.35148261) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.938863296882702 × 6371000     		du = 573.446219437821m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35139260)-sin(-0.35148261))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938894282636131-0.938863296882702)×R²
    abs(0.16988837-0.16979250)×3.09857534293023e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.09857534293023e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.09857534293023e-05×40589641000000     		ar = 328850.288755877m²