Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34539 / 36509
↖ ↑ ↗
← S 20.122997°
E  9.728394°		 ← 573.50 m → S 20.122997°
E  9.733887°		 →
↑
573.52 m
↓
↑
573.52 m
↓
S 20.128155°
E  9.728394°		 ← 573.48 m →
328 909 m²		 S 20.128155°
E  9.733887°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34539 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36509 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527030944824219 y=0.557090759277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527030944824219 × 216)
    floor (0.527030944824219 × 65536)
    floor (34539.5)     		tx = 34539
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.557090759277344 × 216)
    floor (0.557090759277344 × 65536)
    floor (36509.5)     		ty = 36509
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34539 / 36509 ti = "16/34539/36509"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34539/36509.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34539 ÷ 216
    34539 ÷ 65536     		x = 0.527023315429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36509 ÷ 216
    36509 ÷ 65536     		y = 0.557083129882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527023315429688 × 2 - 1) × π
    0.054046630859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.16979250
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.557083129882812 × 2 - 1) × π
    -0.114166259765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.35866388295726
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16979250} λ = 0.16979250}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.35866388295726))-π/2
    2×atan(0.698609126327)-π/2
    2×0.609791882038962-π/2
    1.21958376407792-1.57079632675     		φ = -0.35121256
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16979250} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.728394°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35121256 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.122997°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34539 KachelY 36509 0.16979250 -0.35121256 9.728394 -20.122997
    Oben rechts KachelX + 1 34540 KachelY 36509 0.16988837 -0.35121256 9.733887 -20.122997
    Unten links KachelX 34539 KachelY + 1 36510 0.16979250 -0.35130258 9.728394 -20.128155
    Unten rechts KachelX + 1 34540 KachelY + 1 36510 0.16988837 -0.35130258 9.733887 -20.128155
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35121256--0.35130258) × R
    9.00199999999685e-05 × 6371000     		dl = 573.517419999799m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35121256--0.35130258) × R
    9.00199999999685e-05 × 6371000     		dr = 573.517419999799m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16979250-0.16988837) × cos(-0.35121256) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.93895623820327 × 6371000     		do = 573.502986859751m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16979250-0.16988837) × cos(-0.35130258) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.938925264224038 × 6371000     		du = 573.484068332049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35121256)-sin(-0.35130258))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.93895623820327-0.938925264224038)×R²
    abs(0.16988837-0.16979250)×3.09739792316854e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.09739792316854e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.09739792316854e-05×40589641000000     		ar = 328908.528555485m²