Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34535 / 36185
↖ ↑ ↗
← S 18.443136°
E  9.706421°		 ← 579.48 m → S 18.443136°
E  9.711914°		 →
↑
579.44 m
↓
↑
579.44 m
↓
S 18.448347°
E  9.706421°		 ← 579.46 m →
335 768 m²		 S 18.448347°
E  9.711914°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34535 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36185 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526969909667969 y=0.552146911621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526969909667969 × 216)
    floor (0.526969909667969 × 65536)
    floor (34535.5)     		tx = 34535
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.552146911621094 × 216)
    floor (0.552146911621094 × 65536)
    floor (36185.5)     		ty = 36185
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34535 / 36185 ti = "16/34535/36185"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34535/36185.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34535 ÷ 216
    34535 ÷ 65536     		x = 0.526962280273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36185 ÷ 216
    36185 ÷ 65536     		y = 0.552139282226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.526962280273438 × 2 - 1) × π
    0.053924560546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.16940900
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.552139282226562 × 2 - 1) × π
    -0.104278564453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.327600772003464
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16940900} λ = 0.16940900}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.327600772003464))-π/2
    2×atan(0.720650666204884)-π/2
    2×0.624451441723901-π/2
    1.2489028834478-1.57079632675     		φ = -0.32189344
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16940900} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.706421°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32189344 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.443136°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34535 KachelY 36185 0.16940900 -0.32189344 9.706421 -18.443136
    Oben rechts KachelX + 1 34536 KachelY 36185 0.16950488 -0.32189344 9.711914 -18.443136
    Unten links KachelX 34535 KachelY + 1 36186 0.16940900 -0.32198439 9.706421 -18.448347
    Unten rechts KachelX + 1 34536 KachelY + 1 36186 0.16950488 -0.32198439 9.711914 -18.448347
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32189344--0.32198439) × R
    9.09500000000341e-05 × 6371000     		dl = 579.442450000217m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32189344--0.32198439) × R
    9.09500000000341e-05 × 6371000     		dr = 579.442450000217m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16940900-0.16950488) × cos(-0.32189344) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.948638103971222 × 6371000     		do = 579.476989795171m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16940900-0.16950488) × cos(-0.32198439) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.948609326804153 × 6371000     		du = 579.459411220076m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32189344)-sin(-0.32198439))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.948638103971222-0.948609326804153)×R²
    abs(0.16950488-0.16940900)×2.87771670690606e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.87771670690606e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.87771670690606e-05×40589641000000     		ar = 335768.474030852m²