Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34534 / 36186
↖ ↑ ↗
← S 18.448347°
E  9.700928°		 ← 579.40 m → S 18.448347°
E  9.706421°		 →
↑
579.44 m
↓
↑
579.44 m
↓
S 18.453558°
E  9.700928°		 ← 579.38 m →
335 723 m²		 S 18.453558°
E  9.706421°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34534 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36186 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526954650878906 y=0.552162170410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526954650878906 × 216)
    floor (0.526954650878906 × 65536)
    floor (34534.5)     		tx = 34534
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.552162170410156 × 216)
    floor (0.552162170410156 × 65536)
    floor (36186.5)     		ty = 36186
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34534 / 36186 ti = "16/34534/36186"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34534/36186.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34534 ÷ 216
    34534 ÷ 65536     		x = 0.526947021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36186 ÷ 216
    36186 ÷ 65536     		y = 0.552154541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.526947021484375 × 2 - 1) × π
    0.05389404296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.16931313
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.552154541015625 × 2 - 1) × π
    -0.10430908203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.327696645802704
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16931313} λ = 0.16931313}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.327696645802704))-π/2
    2×atan(0.720581577999518)-π/2
    2×0.624405967644088-π/2
    1.24881193528818-1.57079632675     		φ = -0.32198439
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16931313} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.700928°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32198439 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.448347°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34534 KachelY 36186 0.16931313 -0.32198439 9.700928 -18.448347
    Oben rechts KachelX + 1 34535 KachelY 36186 0.16940900 -0.32198439 9.706421 -18.448347
    Unten links KachelX 34534 KachelY + 1 36187 0.16931313 -0.32207534 9.700928 -18.453558
    Unten rechts KachelX + 1 34535 KachelY + 1 36187 0.16940900 -0.32207534 9.706421 -18.453558
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32198439--0.32207534) × R
    9.09499999999785e-05 × 6371000     		dl = 579.442449999863m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32198439--0.32207534) × R
    9.09499999999785e-05 × 6371000     		dr = 579.442449999863m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16931313-0.16940900) × cos(-0.32198439) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.948609326804153 × 6371000     		do = 579.398975319897m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16931313-0.16940900) × cos(-0.32207534) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.94858054179028 × 6371000     		du = 579.381393785464m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32198439)-sin(-0.32207534))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.948609326804153-0.94858054179028)×R²
    abs(0.16940900-0.16931313)×2.8785013872934e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.8785013872934e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.8785013872934e-05×40589641000000     		ar = 335723.268274395m²