Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34533 / 36543
↖ ↑ ↗
← S 20.298266°
E  9.695435°		 ← 572.86 m → S 20.298266°
E  9.700928°		 →
↑
572.88 m
↓
↑
572.88 m
↓
S 20.303418°
E  9.695435°		 ← 572.84 m →
328 173 m²		 S 20.303418°
E  9.700928°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34533 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36543 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526939392089844 y=0.557609558105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526939392089844 × 216)
    floor (0.526939392089844 × 65536)
    floor (34533.5)     		tx = 34533
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.557609558105469 × 216)
    floor (0.557609558105469 × 65536)
    floor (36543.5)     		ty = 36543
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34533 / 36543 ti = "16/34533/36543"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34533/36543.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34533 ÷ 216
    34533 ÷ 65536     		x = 0.526931762695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36543 ÷ 216
    36543 ÷ 65536     		y = 0.557601928710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.526931762695312 × 2 - 1) × π
    0.053863525390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.16921726
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.557601928710938 × 2 - 1) × π
    -0.115203857421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.361923592131424
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16921726} λ = 0.16921726}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.361923592131424))-π/2
    2×atan(0.696335571325981)-π/2
    2×0.608262380093351-π/2
    1.2165247601867-1.57079632675     		φ = -0.35427157
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16921726} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.695435°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35427157 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.298266°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34533 KachelY 36543 0.16921726 -0.35427157 9.695435 -20.298266
    Oben rechts KachelX + 1 34534 KachelY 36543 0.16931313 -0.35427157 9.700928 -20.298266
    Unten links KachelX 34533 KachelY + 1 36544 0.16921726 -0.35436149 9.695435 -20.303418
    Unten rechts KachelX + 1 34534 KachelY + 1 36544 0.16931313 -0.35436149 9.700928 -20.303418
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35427157--0.35436149) × R
    8.99200000000211e-05 × 6371000     		dl = 572.880320000134m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35427157--0.35436149) × R
    8.99200000000211e-05 × 6371000     		dr = 572.880320000134m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16921726-0.16931313) × cos(-0.35427157) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.937899435284292 × 6371000     		do = 572.857504561539m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16921726-0.16931313) × cos(-0.35436149) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.93786823759148 × 6371000     		du = 572.838449392318m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35427157)-sin(-0.35436149))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.937899435284292-0.93786823759148)×R²
    abs(0.16931313-0.16921726)×3.11976928120128e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.11976928120128e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.11976928120128e-05×40589641000000     		ar = 328173.332582955m²