Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34533 / 36188
↖ ↑ ↗
← S 18.458768°
E  9.695435°		 ← 579.36 m → S 18.458768°
E  9.700928°		 →
↑
579.38 m
↓
↑
579.38 m
↓
S 18.463979°
E  9.695435°		 ← 579.35 m →
335 666 m²		 S 18.463979°
E  9.700928°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34533 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36188 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526939392089844 y=0.552192687988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526939392089844 × 216)
    floor (0.526939392089844 × 65536)
    floor (34533.5)     		tx = 34533
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.552192687988281 × 216)
    floor (0.552192687988281 × 65536)
    floor (36188.5)     		ty = 36188
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34533 / 36188 ti = "16/34533/36188"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34533/36188.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34533 ÷ 216
    34533 ÷ 65536     		x = 0.526931762695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36188 ÷ 216
    36188 ÷ 65536     		y = 0.55218505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.526931762695312 × 2 - 1) × π
    0.053863525390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.16921726
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55218505859375 × 2 - 1) × π
    -0.1043701171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.327888393401184
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16921726} λ = 0.16921726}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.327888393401184))-π/2
    2×atan(0.720443421458443)-π/2
    2×0.624315023623679-π/2
    1.24863004724736-1.57079632675     		φ = -0.32216628
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16921726} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.695435°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32216628 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.458768°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34533 KachelY 36188 0.16921726 -0.32216628 9.695435 -18.458768
    Oben rechts KachelX + 1 34534 KachelY 36188 0.16931313 -0.32216628 9.700928 -18.458768
    Unten links KachelX 34533 KachelY + 1 36189 0.16921726 -0.32225722 9.695435 -18.463979
    Unten rechts KachelX + 1 34534 KachelY + 1 36189 0.16931313 -0.32225722 9.700928 -18.463979
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32216628--0.32225722) × R
    9.09399999999838e-05 × 6371000     		dl = 579.378739999897m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32216628--0.32225722) × R
    9.09399999999838e-05 × 6371000     		dr = 579.378739999897m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16921726-0.16931313) × cos(-0.32216628) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.948551752096063 × 6371000     		do = 579.363809392334m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16921726-0.16931313) × cos(-0.32225722) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.948522954557243 × 6371000     		du = 579.346220207817m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32216628)-sin(-0.32225722))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.948551752096063-0.948522954557243)×R²
    abs(0.16931313-0.16921726)×2.87975388195694e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.87975388195694e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.87975388195694e-05×40589641000000     		ar = 335665.978718698m²