Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34533 / 35061
↖ ↑ ↗
← S 12.495577°
E  9.695435°		 ← 596.32 m → S 12.495577°
E  9.700928°		 →
↑
596.33 m
↓
↑
596.33 m
↓
S 12.500940°
E  9.695435°		 ← 596.31 m →
355 597 m²		 S 12.500940°
E  9.700928°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34533 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35061 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526939392089844 y=0.534996032714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526939392089844 × 216)
    floor (0.526939392089844 × 65536)
    floor (34533.5)     		tx = 34533
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.534996032714844 × 216)
    floor (0.534996032714844 × 65536)
    floor (35061.5)     		ty = 35061
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34533 / 35061 ti = "16/34533/35061"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34533/35061.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34533 ÷ 216
    34533 ÷ 65536     		x = 0.526931762695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35061 ÷ 216
    35061 ÷ 65536     		y = 0.534988403320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.526931762695312 × 2 - 1) × π
    0.053863525390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.16921726
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.534988403320312 × 2 - 1) × π
    -0.069976806640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.219838621657578
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16921726} λ = 0.16921726}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.219838621657578))-π/2
    2×atan(0.802648317566405)-π/2
    2×0.676353685166232-π/2
    1.35270737033246-1.57079632675     		φ = -0.21808896
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16921726} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.695435°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.21808896 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -12.495577°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34533 KachelY 35061 0.16921726 -0.21808896 9.695435 -12.495577
    Oben rechts KachelX + 1 34534 KachelY 35061 0.16931313 -0.21808896 9.700928 -12.495577
    Unten links KachelX 34533 KachelY + 1 35062 0.16921726 -0.21818256 9.695435 -12.500940
    Unten rechts KachelX + 1 34534 KachelY + 1 35062 0.16931313 -0.21818256 9.700928 -12.500940
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.21808896--0.21818256) × R
    9.35999999999992e-05 × 6371000     		dl = 596.325599999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.21808896--0.21818256) × R
    9.35999999999992e-05 × 6371000     		dr = 596.325599999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16921726-0.16931313) × cos(-0.21808896) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.976312712591401 × 6371000     		do = 596.319864546339m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16921726-0.16931313) × cos(-0.21818256) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.976292456621225 × 6371000     		du = 596.307492447486m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.21808896)-sin(-0.21818256))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.976312712591401-0.976292456621225)×R²
    abs(0.16931313-0.16921726)×2.02559701760752e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.02559701760752e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.02559701760752e-05×40589641000000     		ar = 355597.112377428m²