Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34531 / 36179
↖ ↑ ↗
← S 18.411867°
E  9.684448°		 ← 579.52 m → S 18.411867°
E  9.689941°		 →
↑
579.51 m
↓
↑
579.51 m
↓
S 18.417079°
E  9.684448°		 ← 579.50 m →
335 831 m²		 S 18.417079°
E  9.689941°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34531 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36179 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526908874511719 y=0.552055358886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526908874511719 × 216)
    floor (0.526908874511719 × 65536)
    floor (34531.5)     		tx = 34531
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.552055358886719 × 216)
    floor (0.552055358886719 × 65536)
    floor (36179.5)     		ty = 36179
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34531 / 36179 ti = "16/34531/36179"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34531/36179.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34531 ÷ 216
    34531 ÷ 65536     		x = 0.526901245117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36179 ÷ 216
    36179 ÷ 65536     		y = 0.552047729492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.526901245117188 × 2 - 1) × π
    0.053802490234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.16902551
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.552047729492188 × 2 - 1) × π
    -0.104095458984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.327025529208023
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16902551} λ = 0.16902551}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.327025529208023))-π/2
    2×atan(0.721065334564707)-π/2
    2×0.624724315156229-π/2
    1.24944863031246-1.57079632675     		φ = -0.32134770
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16902551} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.684448°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32134770 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.411867°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34531 KachelY 36179 0.16902551 -0.32134770 9.684448 -18.411867
    Oben rechts KachelX + 1 34532 KachelY 36179 0.16912138 -0.32134770 9.689941 -18.411867
    Unten links KachelX 34531 KachelY + 1 36180 0.16902551 -0.32143866 9.684448 -18.417079
    Unten rechts KachelX + 1 34532 KachelY + 1 36180 0.16912138 -0.32143866 9.689941 -18.417079
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32134770--0.32143866) × R
    9.09599999999733e-05 × 6371000     		dl = 579.50615999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32134770--0.32143866) × R
    9.09599999999733e-05 × 6371000     		dr = 579.50615999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16902551-0.16912138) × cos(-0.32134770) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.948810614811253 × 6371000     		do = 579.521919572882m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16902551-0.16912138) × cos(-0.32143866) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.948781881574137 × 6371000     		du = 579.504369663059m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32134770)-sin(-0.32143866))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.948810614811253-0.948781881574137)×R²
    abs(0.16912138-0.16902551)×2.8733237116163e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.8733237116163e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.8733237116163e-05×40589641000000     		ar = 335831.437338544m²