Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34530 / 36182
↖ ↑ ↗
← S 18.427502°
E  9.678955°		 ← 579.53 m → S 18.427502°
E  9.684448°		 →
↑
579.51 m
↓
↑
579.51 m
↓
S 18.432713°
E  9.678955°		 ← 579.51 m →
335 836 m²		 S 18.432713°
E  9.684448°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34530 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36182 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526893615722656 y=0.552101135253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526893615722656 × 216)
    floor (0.526893615722656 × 65536)
    floor (34530.5)     		tx = 34530
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.552101135253906 × 216)
    floor (0.552101135253906 × 65536)
    floor (36182.5)     		ty = 36182
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34530 / 36182 ti = "16/34530/36182"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34530/36182.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34530 ÷ 216
    34530 ÷ 65536     		x = 0.526885986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36182 ÷ 216
    36182 ÷ 65536     		y = 0.552093505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.526885986328125 × 2 - 1) × π
    0.05377197265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.16892963
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.552093505859375 × 2 - 1) × π
    -0.10418701171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.327313150605743
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16892963} λ = 0.16892963}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.327313150605743))-π/2
    2×atan(0.720857970567923)-π/2
    2×0.624587872237761-π/2
    1.24917574447552-1.57079632675     		φ = -0.32162058
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16892963} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.678955°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32162058 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.427502°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34530 KachelY 36182 0.16892963 -0.32162058 9.678955 -18.427502
    Oben rechts KachelX + 1 34531 KachelY 36182 0.16902551 -0.32162058 9.684448 -18.427502
    Unten links KachelX 34530 KachelY + 1 36183 0.16892963 -0.32171154 9.678955 -18.432713
    Unten rechts KachelX + 1 34531 KachelY + 1 36183 0.16902551 -0.32171154 9.684448 -18.432713
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32162058--0.32171154) × R
    9.09600000000288e-05 × 6371000     		dl = 579.506160000184m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32162058--0.32171154) × R
    9.09600000000288e-05 × 6371000     		dr = 579.506160000184m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16892963-0.16902551) × cos(-0.32162058) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.948724391550271 × 6371000     		do = 579.529698690538m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16892963-0.16902551) × cos(-0.32171154) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.948695634763997 × 6371000     		du = 579.512132565082m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32162058)-sin(-0.32171154))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.948724391550271-0.948695634763997)×R²
    abs(0.16902551-0.16892963)×2.87567862742311e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.87567862742311e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.87567862742311e-05×40589641000000     		ar = 335835.940686651m²