Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34527 / 48355
↖ ↑ ↗
← S 64.706147°
E  9.662475°		 ← 260.99 m → S 64.706147°
E  9.667969°		 →
↑
260.96 m
↓
↑
260.96 m
↓
S 64.708494°
E  9.662475°		 ← 260.97 m →
68 105 m²		 S 64.708494°
E  9.667969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34527 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48355 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526847839355469 y=0.737846374511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526847839355469 × 216)
    floor (0.526847839355469 × 65536)
    floor (34527.5)     		tx = 34527
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737846374511719 × 216)
    floor (0.737846374511719 × 65536)
    floor (48355.5)     		ty = 48355
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34527 / 48355 ti = "16/34527/48355"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34527/48355.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34527 ÷ 216
    34527 ÷ 65536     		x = 0.526840209960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48355 ÷ 216
    48355 ÷ 65536     		y = 0.737838745117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.526840209960938 × 2 - 1) × π
    0.053680419921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.16864201
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.737838745117188 × 2 - 1) × π
    -0.475677490234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.49438490875563
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16864201} λ = 0.16864201}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49438490875563))-π/2
    2×atan(0.224386580513365)-π/2
    2×0.220730504204595-π/2
    0.441461008409189-1.57079632675     		φ = -1.12933532
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16864201} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.662475°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12933532 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.706147°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34527 KachelY 48355 0.16864201 -1.12933532 9.662475 -64.706147
    Oben rechts KachelX + 1 34528 KachelY 48355 0.16873789 -1.12933532 9.667969 -64.706147
    Unten links KachelX 34527 KachelY + 1 48356 0.16864201 -1.12937628 9.662475 -64.708494
    Unten rechts KachelX + 1 34528 KachelY + 1 48356 0.16873789 -1.12937628 9.667969 -64.708494
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12933532--1.12937628) × R
    4.09599999999788e-05 × 6371000     		dl = 260.956159999865m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12933532--1.12937628) × R
    4.09599999999788e-05 × 6371000     		dr = 260.956159999865m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16864201-0.16873789) × cos(-1.12933532) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.427260858330887 × 6371000     		do = 260.992927657473m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16864201-0.16873789) × cos(-1.12937628) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.427223824873329 × 6371000     		du = 260.970305715114m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12933532)-sin(-1.12937628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.427260858330887-0.427223824873329)×R²
    abs(0.16873789-0.16864201)×3.70334575584552e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.70334575584552e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.70334575584552e-05×40589641000000     		ar = 68104.7605302373m²