Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34524 / 36259
↖ ↑ ↗
← S 18.828316°
E  9.645996°		 ← 578.16 m → S 18.828316°
E  9.651490°		 →
↑
578.10 m
↓
↑
578.10 m
↓
S 18.833515°
E  9.645996°		 ← 578.15 m →
334 234 m²		 S 18.833515°
E  9.651490°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34524 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36259 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526802062988281 y=0.553276062011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526802062988281 × 216)
    floor (0.526802062988281 × 65536)
    floor (34524.5)     		tx = 34524
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.553276062011719 × 216)
    floor (0.553276062011719 × 65536)
    floor (36259.5)     		ty = 36259
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34524 / 36259 ti = "16/34524/36259"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34524/36259.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34524 ÷ 216
    34524 ÷ 65536     		x = 0.52679443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36259 ÷ 216
    36259 ÷ 65536     		y = 0.553268432617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52679443359375 × 2 - 1) × π
    0.0535888671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.16835439
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.553268432617188 × 2 - 1) × π
    -0.106536865234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.334695433147232
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16835439} λ = 0.16835439}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.334695433147232))-π/2
    2×atan(0.715555987803281)-π/2
    2×0.621090107793802-π/2
    1.2421802155876-1.57079632675     		φ = -0.32861611
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16835439} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.645996°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32861611 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.828316°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34524 KachelY 36259 0.16835439 -0.32861611 9.645996 -18.828316
    Oben rechts KachelX + 1 34525 KachelY 36259 0.16845027 -0.32861611 9.651490 -18.828316
    Unten links KachelX 34524 KachelY + 1 36260 0.16835439 -0.32870685 9.645996 -18.833515
    Unten rechts KachelX + 1 34525 KachelY + 1 36260 0.16845027 -0.32870685 9.651490 -18.833515
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32861611--0.32870685) × R
    9.07399999999781e-05 × 6371000     		dl = 578.10453999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32861611--0.32870685) × R
    9.07399999999781e-05 × 6371000     		dr = 578.10453999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16835439-0.16845027) × cos(-0.32861611) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.946489877384737 × 6371000     		do = 578.164742405608m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16835439-0.16845027) × cos(-0.32870685) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.946460588650409 × 6371000     		du = 578.146851338897m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32861611)-sin(-0.32870685))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.946489877384737-0.946460588650409)×R²
    abs(0.16845027-0.16835439)×2.92887343271708e-05×R²
    9.58800000000204e-05×2.92887343271708e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×2.92887343271708e-05×40589641000000     		ar = 334234.491228394m²