Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34520 / 36538
↖ ↑ ↗
← S 20.272503°
E  9.624024°		 ← 572.95 m → S 20.272503°
E  9.629517°		 →
↑
572.94 m
↓
↑
572.94 m
↓
S 20.277656°
E  9.624024°		 ← 572.93 m →
328 264 m²		 S 20.277656°
E  9.629517°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36538 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526741027832031 y=0.557533264160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526741027832031 × 216)
    floor (0.526741027832031 × 65536)
    floor (34520.5)     		tx = 34520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.557533264160156 × 216)
    floor (0.557533264160156 × 65536)
    floor (36538.5)     		ty = 36538
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34520 / 36538 ti = "16/34520/36538"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34520/36538.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34520 ÷ 216
    34520 ÷ 65536     		x = 0.5267333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36538 ÷ 216
    36538 ÷ 65536     		y = 0.557525634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5267333984375 × 2 - 1) × π
    0.053466796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.16797090
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.557525634765625 × 2 - 1) × π
    -0.11505126953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.361444223135223
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16797090} λ = 0.16797090}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.361444223135223))-π/2
    2×atan(0.696669453029702)-π/2
    2×0.608487198734241-π/2
    1.21697439746848-1.57079632675     		φ = -0.35382193
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16797090} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.624024°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35382193 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.272503°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34520 KachelY 36538 0.16797090 -0.35382193 9.624024 -20.272503
    Oben rechts KachelX + 1 34521 KachelY 36538 0.16806677 -0.35382193 9.629517 -20.272503
    Unten links KachelX 34520 KachelY + 1 36539 0.16797090 -0.35391186 9.624024 -20.277656
    Unten rechts KachelX + 1 34521 KachelY + 1 36539 0.16806677 -0.35391186 9.629517 -20.277656
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35382193--0.35391186) × R
    8.99300000000158e-05 × 6371000     		dl = 572.944030000101m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35382193--0.35391186) × R
    8.99300000000158e-05 × 6371000     		dr = 572.944030000101m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16797090-0.16806677) × cos(-0.35382193) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.938055323850445 × 6371000     		do = 572.952719391228m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16797090-0.16806677) × cos(-0.35391186) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.938024160615258 × 6371000     		du = 572.933685268302m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35382193)-sin(-0.35391186))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938055323850445-0.938024160615258)×R²
    abs(0.16806677-0.16797090)×3.11632351870372e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.11632351870372e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.11632351870372e-05×40589641000000     		ar = 328264.387525142m²