Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3452 / 1050
↖ ↑ ↗
← N 78.954560°
W 28.300781°		 ← 936.19 m → N 78.954560°
W 28.256836°		 →
↑
936.54 m
↓
↑
936.54 m
↓
N 78.946137°
W 28.300781°		 ← 936.90 m →
877 107 m²		 N 78.946137°
W 28.256836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3452 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1050 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.42144775390625 y=0.12823486328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.42144775390625 × 213)
    floor (0.42144775390625 × 8192)
    floor (3452.5)     		tx = 3452
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.12823486328125 × 213)
    floor (0.12823486328125 × 8192)
    floor (1050.5)     		ty = 1050
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3452 / 1050 ti = "13/3452/1050"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3452/1050.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3452 ÷ 213
    3452 ÷ 8192     		x = 0.42138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1050 ÷ 213
    1050 ÷ 8192     		y = 0.128173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42138671875 × 2 - 1) × π
    -0.1572265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.49394181
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.128173828125 × 2 - 1) × π
    0.74365234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.33625273988306
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49394181} λ = -0.49394181}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33625273988306))-π/2
    2×atan(10.3424081644854)-π/2
    2×1.47440667788141-π/2
    2.94881335576282-1.57079632675     		φ = 1.37801703
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49394181} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.300781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37801703 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.954560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3452 KachelY 1050 -0.49394181 1.37801703 -28.300781 78.954560
    Oben rechts KachelX + 1 3453 KachelY 1050 -0.49317482 1.37801703 -28.256836 78.954560
    Unten links KachelX 3452 KachelY + 1 1051 -0.49394181 1.37787003 -28.300781 78.946137
    Unten rechts KachelX + 1 3453 KachelY + 1 1051 -0.49317482 1.37787003 -28.256836 78.946137
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37801703-1.37787003) × R
    0.000147000000000119 × 6371000     		dl = 936.53700000076m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37801703-1.37787003) × R
    0.000147000000000119 × 6371000     		dr = 936.53700000076m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49394181--0.49317482) × cos(1.37801703) × R
    0.000766989999999967 × 0.191587443267103 × 6371000     		do = 936.190755972916m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49394181--0.49317482) × cos(1.37787003) × R
    0.000766989999999967 × 0.191731718102153 × 6371000     		du = 936.895753986302m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37801703)-sin(1.37787003))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.191587443267103-0.191731718102153)×R²
    abs(-0.49317482--0.49394181)×0.000144274835049474×R²
    0.000766989999999967×0.000144274835049474×6371000²
    0.000766989999999967×0.000144274835049474×40589641000000     		ar = 877107.411971618m²