Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34518 / 21797
↖ ↑ ↗
← N 51.491645°
E  9.613037°		 ← 380.29 m → N 51.491645°
E  9.618530°		 →
↑
380.35 m
↓
↑
380.35 m
↓
N 51.488224°
E  9.613037°		 ← 380.32 m →
144 650 m²		 N 51.488224°
E  9.618530°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34518 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21797 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526710510253906 y=0.332603454589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526710510253906 × 216)
    floor (0.526710510253906 × 65536)
    floor (34518.5)     		tx = 34518
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332603454589844 × 216)
    floor (0.332603454589844 × 65536)
    floor (21797.5)     		ty = 21797
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34518 / 21797 ti = "16/34518/21797"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34518/21797.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34518 ÷ 216
    34518 ÷ 65536     		x = 0.526702880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21797 ÷ 216
    21797 ÷ 65536     		y = 0.332595825195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.526702880859375 × 2 - 1) × π
    0.05340576171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.16777915
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332595825195312 × 2 - 1) × π
    0.334808349609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.05183145146327
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16777915} λ = 0.16777915}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05183145146327))-π/2
    2×atan(2.86288956289935)-π/2
    2×1.23474753164979-π/2
    2.46949506329958-1.57079632675     		φ = 0.89869874
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16777915} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.613037°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89869874 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.491645°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34518 KachelY 21797 0.16777915 0.89869874 9.613037 51.491645
    Oben rechts KachelX + 1 34519 KachelY 21797 0.16787502 0.89869874 9.618530 51.491645
    Unten links KachelX 34518 KachelY + 1 21798 0.16777915 0.89863904 9.613037 51.488224
    Unten rechts KachelX + 1 34519 KachelY + 1 21798 0.16787502 0.89863904 9.618530 51.488224
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89869874-0.89863904) × R
    5.97000000001069e-05 × 6371000     		dl = 380.348700000681m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89869874-0.89863904) × R
    5.97000000001069e-05 × 6371000     		dr = 380.348700000681m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16777915-0.16787502) × cos(0.89869874) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.622628753678384 × 6371000     		do = 380.294027997201m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16777915-0.16787502) × cos(0.89863904) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.622675468855821 × 6371000     		du = 380.322561056253m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89869874)-sin(0.89863904))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.622628753678384-0.622675468855821)×R²
    abs(0.16787502-0.16777915)×4.6715177437151e-05×R²
    9.58700000000257e-05×4.6715177437151e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×4.6715177437151e-05×40589641000000     		ar = 144649.765465528m²