Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34517 / 36275
↖ ↑ ↗
← S 18.911483°
E  9.607544°		 ← 577.88 m → S 18.911483°
E  9.613037°		 →
↑
577.85 m
↓
↑
577.85 m
↓
S 18.916680°
E  9.607544°		 ← 577.86 m →
333 921 m²		 S 18.916680°
E  9.613037°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34517 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36275 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526695251464844 y=0.553520202636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526695251464844 × 216)
    floor (0.526695251464844 × 65536)
    floor (34517.5)     		tx = 34517
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.553520202636719 × 216)
    floor (0.553520202636719 × 65536)
    floor (36275.5)     		ty = 36275
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34517 / 36275 ti = "16/34517/36275"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34517/36275.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34517 ÷ 216
    34517 ÷ 65536     		x = 0.526687622070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36275 ÷ 216
    36275 ÷ 65536     		y = 0.553512573242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.526687622070312 × 2 - 1) × π
    0.053375244140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.16768327
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.553512573242188 × 2 - 1) × π
    -0.107025146484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.336229413935074
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16768327} λ = 0.16768327}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.336229413935074))-π/2
    2×atan(0.714459180121396)-π/2
    2×0.620364339072051-π/2
    1.2407286781441-1.57079632675     		φ = -0.33006765
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16768327} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.607544°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33006765 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.911483°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34517 KachelY 36275 0.16768327 -0.33006765 9.607544 -18.911483
    Oben rechts KachelX + 1 34518 KachelY 36275 0.16777915 -0.33006765 9.613037 -18.911483
    Unten links KachelX 34517 KachelY + 1 36276 0.16768327 -0.33015835 9.607544 -18.916680
    Unten rechts KachelX + 1 34518 KachelY + 1 36276 0.16777915 -0.33015835 9.613037 -18.916680
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33006765--0.33015835) × R
    9.06999999999991e-05 × 6371000     		dl = 577.849699999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33006765--0.33015835) × R
    9.06999999999991e-05 × 6371000     		dr = 577.849699999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16768327-0.16777915) × cos(-0.33006765) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.946020419852741 × 6371000     		do = 577.877973577224m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16768327-0.16777915) × cos(-0.33015835) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.945991019454181 × 6371000     		du = 577.860014300251m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33006765)-sin(-0.33015835))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.946020419852741-0.945991019454181)×R²
    abs(0.16777915-0.16768327)×2.94003985602531e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.94003985602531e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.94003985602531e-05×40589641000000     		ar = 333921.425015567m²