Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34513 / 35023
↖ ↑ ↗
← S 12.291701°
E  9.585571°		 ← 596.79 m → S 12.291701°
E  9.591064°		 →
↑
596.84 m
↓
↑
596.84 m
↓
S 12.297068°
E  9.585571°		 ← 596.77 m →
356 179 m²		 S 12.297068°
E  9.591064°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34513 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35023 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526634216308594 y=0.534416198730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526634216308594 × 216)
    floor (0.526634216308594 × 65536)
    floor (34513.5)     		tx = 34513
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.534416198730469 × 216)
    floor (0.534416198730469 × 65536)
    floor (35023.5)     		ty = 35023
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34513 / 35023 ti = "16/34513/35023"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34513/35023.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34513 ÷ 216
    34513 ÷ 65536     		x = 0.526626586914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35023 ÷ 216
    35023 ÷ 65536     		y = 0.534408569335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.526626586914062 × 2 - 1) × π
    0.053253173828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.16729978
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.534408569335938 × 2 - 1) × π
    -0.068817138671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.216195417286453
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16729978} λ = 0.16729978}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.216195417286453))-π/2
    2×atan(0.805577862650862)-π/2
    2×0.678132835910236-π/2
    1.35626567182047-1.57079632675     		φ = -0.21453065
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16729978} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.585571°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.21453065 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -12.291701°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34513 KachelY 35023 0.16729978 -0.21453065 9.585571 -12.291701
    Oben rechts KachelX + 1 34514 KachelY 35023 0.16739565 -0.21453065 9.591064 -12.291701
    Unten links KachelX 34513 KachelY + 1 35024 0.16729978 -0.21462433 9.585571 -12.297068
    Unten rechts KachelX + 1 34514 KachelY + 1 35024 0.16739565 -0.21462433 9.591064 -12.297068
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.21453065--0.21462433) × R
    9.36800000000126e-05 × 6371000     		dl = 596.835280000081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.21453065--0.21462433) × R
    9.36800000000126e-05 × 6371000     		dr = 596.835280000081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16729978-0.16739565) × cos(-0.21453065) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.977076421209878 × 6371000     		do = 596.786328430349m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16729978-0.16739565) × cos(-0.21462433) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.97705647349403 × 6371000     		du = 596.77414460947m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.21453065)-sin(-0.21462433))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.977076421209878-0.97705647349403)×R²
    abs(0.16739565-0.16729978)×1.9947715847568e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.9947715847568e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.9947715847568e-05×40589641000000     		ar = 356179.499822396m²