Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 34512 / 9904
↖ ↑ ↗
← N 82.051819°
W 85.209961°		 ← 42.22 m → N 82.051819°
W 85.207215°		 →
↑
42.24 m
↓
↑
42.24 m
↓
N 82.051439°
W 85.209961°		 ← 42.23 m →
1 784 m²		 N 82.051439°
W 85.207215°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9904 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.263309478759766 y=0.0755653381347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.263309478759766 × 217)
    floor (0.263309478759766 × 131072)
    floor (34512.5)     		tx = 34512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0755653381347656 × 217)
    floor (0.0755653381347656 × 131072)
    floor (9904.5)     		ty = 9904
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 34512 / 9904 ti = "17/34512/9904"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/34512/9904.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34512 ÷ 217
    34512 ÷ 131072     		x = 0.2633056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9904 ÷ 217
    9904 ÷ 131072     		y = 0.0755615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2633056640625 × 2 - 1) × π
    -0.473388671875 × 3.1415926535     		Λ = -1.48719437
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0755615234375 × 2 - 1) × π
    0.848876953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.66682559966296
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.48719437} λ = -1.48719437}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.66682559966296))-π/2
    2×atan(14.3942036272747)-π/2
    2×1.50143536292985-π/2
    3.00287072585969-1.57079632675     		φ = 1.43207440
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.48719437} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -85.209961°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43207440 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.051819°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34512 KachelY 9904 -1.48719437 1.43207440 -85.209961 82.051819
    Oben rechts KachelX + 1 34513 KachelY 9904 -1.48714644 1.43207440 -85.207215 82.051819
    Unten links KachelX 34512 KachelY + 1 9905 -1.48719437 1.43206777 -85.209961 82.051439
    Unten rechts KachelX + 1 34513 KachelY + 1 9905 -1.48714644 1.43206777 -85.207215 82.051439
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43207440-1.43206777) × R
    6.63000000011849e-06 × 6371000     		dl = 42.2397300007549m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43207440-1.43206777) × R
    6.63000000011849e-06 × 6371000     		dr = 42.2397300007549m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.48719437--1.48714644) × cos(1.43207440) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.138277432486949 × 6371000     		do = 42.2246774874285m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.48719437--1.48714644) × cos(1.43206777) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.138283998793039 × 6371000     		du = 42.2266825879857m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43207440)-sin(1.43206777))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.138277432486949-0.138283998793039)×R²
    abs(-1.48714644--1.48719437)×6.56630608961151e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.56630608961151e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.56630608961151e-06×40589641000000     		ar = 1783.60132381034m²