Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34512 / 36304
↖ ↑ ↗
← S 19.062118°
E  9.580078°		 ← 577.30 m → S 19.062118°
E  9.585571°		 →
↑
577.28 m
↓
↑
577.28 m
↓
S 19.067309°
E  9.580078°		 ← 577.28 m →
333 254 m²		 S 19.067309°
E  9.585571°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36304 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526618957519531 y=0.553962707519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526618957519531 × 216)
    floor (0.526618957519531 × 65536)
    floor (34512.5)     		tx = 34512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.553962707519531 × 216)
    floor (0.553962707519531 × 65536)
    floor (36304.5)     		ty = 36304
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34512 / 36304 ti = "16/34512/36304"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34512/36304.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34512 ÷ 216
    34512 ÷ 65536     		x = 0.526611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36304 ÷ 216
    36304 ÷ 65536     		y = 0.553955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.526611328125 × 2 - 1) × π
    0.05322265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.16720391
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.553955078125 × 2 - 1) × π
    -0.10791015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.339009754113037
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16720391} λ = 0.16720391}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.339009754113037))-π/2
    2×atan(0.71247549948874)-π/2
    2×0.619049803666716-π/2
    1.23809960733343-1.57079632675     		φ = -0.33269672
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16720391} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.580078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33269672 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.062118°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34512 KachelY 36304 0.16720391 -0.33269672 9.580078 -19.062118
    Oben rechts KachelX + 1 34513 KachelY 36304 0.16729978 -0.33269672 9.585571 -19.062118
    Unten links KachelX 34512 KachelY + 1 36305 0.16720391 -0.33278733 9.580078 -19.067309
    Unten rechts KachelX + 1 34513 KachelY + 1 36305 0.16729978 -0.33278733 9.585571 -19.067309
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33269672--0.33278733) × R
    9.0609999999991e-05 × 6371000     		dl = 577.276309999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33269672--0.33278733) × R
    9.0609999999991e-05 × 6371000     		dr = 577.276309999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16720391-0.16729978) × cos(-0.33269672) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.945165051322812 × 6371000     		do = 577.295253979383m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16720391-0.16729978) × cos(-0.33278733) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.945135454845852 × 6371000     		du = 577.277176813221m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33269672)-sin(-0.33278733))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.945165051322812-0.945135454845852)×R²
    abs(0.16729978-0.16720391)×2.95964769598811e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.95964769598811e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.95964769598811e-05×40589641000000     		ar = 333253.656465682m²