Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34509 / 22101
↖ ↑ ↗
← N 50.440015°
E  9.563598°		 ← 389.04 m → N 50.440015°
E  9.569092°		 →
↑
389.01 m
↓
↑
389.01 m
↓
N 50.436516°
E  9.563598°		 ← 389.07 m →
151 348 m²		 N 50.436516°
E  9.569092°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34509 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22101 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526573181152344 y=0.337242126464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526573181152344 × 216)
    floor (0.526573181152344 × 65536)
    floor (34509.5)     		tx = 34509
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337242126464844 × 216)
    floor (0.337242126464844 × 65536)
    floor (22101.5)     		ty = 22101
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34509 / 22101 ti = "16/34509/22101"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34509/22101.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34509 ÷ 216
    34509 ÷ 65536     		x = 0.526565551757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22101 ÷ 216
    22101 ÷ 65536     		y = 0.337234497070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.526565551757812 × 2 - 1) × π
    0.053131103515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.16691628
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337234497070312 × 2 - 1) × π
    0.325531005859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.02268581649428
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16691628} λ = 0.16691628}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02268581649428))-π/2
    2×atan(2.78065306753714)-π/2
    2×1.22557032870881-π/2
    2.45114065741762-1.57079632675     		φ = 0.88034433
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16691628} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.563598°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88034433 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.440015°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34509 KachelY 22101 0.16691628 0.88034433 9.563598 50.440015
    Oben rechts KachelX + 1 34510 KachelY 22101 0.16701216 0.88034433 9.569092 50.440015
    Unten links KachelX 34509 KachelY + 1 22102 0.16691628 0.88028327 9.563598 50.436516
    Unten rechts KachelX + 1 34510 KachelY + 1 22102 0.16701216 0.88028327 9.569092 50.436516
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88034433-0.88028327) × R
    6.10600000000572e-05 × 6371000     		dl = 389.013260000364m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88034433-0.88028327) × R
    6.10600000000572e-05 × 6371000     		dr = 389.013260000364m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16691628-0.16701216) × cos(0.88034433) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.636885717914331 × 6371000     		do = 389.042583378802m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16691628-0.16701216) × cos(0.88028327) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.636932791436168 × 6371000     		du = 389.071338309284m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88034433)-sin(0.88028327))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.636885717914331-0.636932791436168)×R²
    abs(0.16701216-0.16691628)×4.70735218369711e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.70735218369711e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.70735218369711e-05×40589641000000     		ar = 151348.316710814m²