Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34508 / 36533
↖ ↑ ↗
← S 20.246737°
E  9.558105°		 ← 573.05 m → S 20.246737°
E  9.563598°		 →
↑
573.07 m
↓
↑
573.07 m
↓
S 20.251891°
E  9.558105°		 ← 573.03 m →
328 392 m²		 S 20.251891°
E  9.563598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34508 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36533 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526557922363281 y=0.557456970214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526557922363281 × 216)
    floor (0.526557922363281 × 65536)
    floor (34508.5)     		tx = 34508
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.557456970214844 × 216)
    floor (0.557456970214844 × 65536)
    floor (36533.5)     		ty = 36533
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34508 / 36533 ti = "16/34508/36533"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34508/36533.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34508 ÷ 216
    34508 ÷ 65536     		x = 0.52655029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36533 ÷ 216
    36533 ÷ 65536     		y = 0.557449340820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52655029296875 × 2 - 1) × π
    0.0531005859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.16682041
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.557449340820312 × 2 - 1) × π
    -0.114898681640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.360964854139023
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16682041} λ = 0.16682041}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.360964854139023))-π/2
    2×atan(0.697003494824327)-π/2
    2×0.60871205471935-π/2
    1.2174241094387-1.57079632675     		φ = -0.35337222
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16682041} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.558105°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35337222 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.246737°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34508 KachelY 36533 0.16682041 -0.35337222 9.558105 -20.246737
    Oben rechts KachelX + 1 34509 KachelY 36533 0.16691628 -0.35337222 9.563598 -20.246737
    Unten links KachelX 34508 KachelY + 1 36534 0.16682041 -0.35346217 9.558105 -20.251891
    Unten rechts KachelX + 1 34509 KachelY + 1 36534 0.16691628 -0.35346217 9.563598 -20.251891
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35337222--0.35346217) × R
    8.99500000000053e-05 × 6371000     		dl = 573.071450000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35337222--0.35346217) × R
    8.99500000000053e-05 × 6371000     		dr = 573.071450000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16682041-0.16691628) × cos(-0.35337222) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.938211046988662 × 6371000     		do = 573.047833179558m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16682041-0.16691628) × cos(-0.35346217) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.938179914770263 × 6371000     		du = 573.028818001306m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35337222)-sin(-0.35346217))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938211046988662-0.938179914770263)×R²
    abs(0.16691628-0.16682041)×3.11322183995655e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.11322183995655e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.11322183995655e-05×40589641000000     		ar = 328391.904373185m²