Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34508 / 36276
↖ ↑ ↗
← S 18.916680°
E  9.558105°		 ← 577.80 m → S 18.916680°
E  9.563598°		 →
↑
577.79 m
↓
↑
577.79 m
↓
S 18.921876°
E  9.558105°		 ← 577.78 m →
333 839 m²		 S 18.921876°
E  9.563598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34508 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36276 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526557922363281 y=0.553535461425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526557922363281 × 216)
    floor (0.526557922363281 × 65536)
    floor (34508.5)     		tx = 34508
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.553535461425781 × 216)
    floor (0.553535461425781 × 65536)
    floor (36276.5)     		ty = 36276
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34508 / 36276 ti = "16/34508/36276"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34508/36276.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34508 ÷ 216
    34508 ÷ 65536     		x = 0.52655029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36276 ÷ 216
    36276 ÷ 65536     		y = 0.55352783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52655029296875 × 2 - 1) × π
    0.0531005859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.16682041
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55352783203125 × 2 - 1) × π
    -0.1070556640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.336325287734314
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16682041} λ = 0.16682041}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.336325287734314))-π/2
    2×atan(0.714390685488868)-π/2
    2×0.620318990490757-π/2
    1.24063798098151-1.57079632675     		φ = -0.33015835
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16682041} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.558105°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33015835 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.916680°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34508 KachelY 36276 0.16682041 -0.33015835 9.558105 -18.916680
    Oben rechts KachelX + 1 34509 KachelY 36276 0.16691628 -0.33015835 9.563598 -18.916680
    Unten links KachelX 34508 KachelY + 1 36277 0.16682041 -0.33024904 9.558105 -18.921876
    Unten rechts KachelX + 1 34509 KachelY + 1 36277 0.16691628 -0.33024904 9.563598 -18.921876
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33015835--0.33024904) × R
    9.06900000000044e-05 × 6371000     		dl = 577.785990000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33015835--0.33024904) × R
    9.06900000000044e-05 × 6371000     		dr = 577.785990000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16682041-0.16691628) × cos(-0.33015835) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.945991019454181 × 6371000     		do = 577.799745212433m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16682041-0.16691628) × cos(-0.33024904) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.945961614516221 × 6371000     		du = 577.781785035949m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33015835)-sin(-0.33024904))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.945991019454181-0.945961614516221)×R²
    abs(0.16691628-0.16682041)×2.9404937959665e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.9404937959665e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.9404937959665e-05×40589641000000     		ar = 333839.409469099m²