Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 34504 / 36520
↖ ↑ ↗
← S 20.179724°
E  9.536133°		 ← 573.29 m → S 20.179724°
E  9.541626°		 →
↑
573.26 m
↓
↑
573.26 m
↓
S 20.184879°
E  9.536133°		 ← 573.28 m →
328 643 m²		 S 20.184879°
E  9.541626°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34504 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36520 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526496887207031 y=0.557258605957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526496887207031 × 216)
    floor (0.526496887207031 × 65536)
    floor (34504.5)     		tx = 34504
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.557258605957031 × 216)
    floor (0.557258605957031 × 65536)
    floor (36520.5)     		ty = 36520
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34504 / 36520 ti = "16/34504/36520"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34504/36520.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34504 ÷ 216
    34504 ÷ 65536     		x = 0.5264892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36520 ÷ 216
    36520 ÷ 65536     		y = 0.5572509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5264892578125 × 2 - 1) × π
    0.052978515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.16643692
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5572509765625 × 2 - 1) × π
    -0.114501953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.359718494748901
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16643692} λ = 0.16643692}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.359718494748901))-π/2
    2×atan(0.697872753266734)-π/2
    2×0.609296854769606-π/2
    1.21859370953921-1.57079632675     		φ = -0.35220262
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16643692} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.536133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35220262 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.179724°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34504 KachelY 36520 0.16643692 -0.35220262 9.536133 -20.179724
    Oben rechts KachelX + 1 34505 KachelY 36520 0.16653279 -0.35220262 9.541626 -20.179724
    Unten links KachelX 34504 KachelY + 1 36521 0.16643692 -0.35229260 9.536133 -20.184879
    Unten rechts KachelX + 1 34505 KachelY + 1 36521 0.16653279 -0.35229260 9.541626 -20.184879
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35220262--0.35229260) × R
    8.99799999999895e-05 × 6371000     		dl = 573.262579999933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35220262--0.35229260) × R
    8.99799999999895e-05 × 6371000     		dr = 573.262579999933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16643692-0.16653279) × cos(-0.35220262) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.938615161190615 × 6371000     		do = 573.29466119196m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16643692-0.16653279) × cos(-0.35229260) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.938584117345315 × 6371000     		du = 573.275699990917m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35220262)-sin(-0.35229260))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938615161190615-0.938584117345315)×R²
    abs(0.16653279-0.16643692)×3.10438452996165e-05×R²
    9.58700000000257e-05×3.10438452996165e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×3.10438452996165e-05×40589641000000     		ar = 328642.941923292m²