Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34499 / 36163
↖ ↑ ↗
← S 18.328455°
E  9.508667°		 ← 579.80 m → S 18.328455°
E  9.514160°		 →
↑
579.82 m
↓
↑
579.82 m
↓
S 18.333670°
E  9.508667°		 ← 579.78 m →
336 179 m²		 S 18.333670°
E  9.514160°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34499 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36163 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526420593261719 y=0.551811218261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526420593261719 × 216)
    floor (0.526420593261719 × 65536)
    floor (34499.5)     		tx = 34499
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.551811218261719 × 216)
    floor (0.551811218261719 × 65536)
    floor (36163.5)     		ty = 36163
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34499 / 36163 ti = "16/34499/36163"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34499/36163.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34499 ÷ 216
    34499 ÷ 65536     		x = 0.526412963867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36163 ÷ 216
    36163 ÷ 65536     		y = 0.551803588867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.526412963867188 × 2 - 1) × π
    0.052825927734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.16595755
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.551803588867188 × 2 - 1) × π
    -0.103607177734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.325491548420181
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16595755} λ = 0.16595755}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.325491548420181))-π/2
    2×atan(0.722172283737026)-π/2
    2×0.625452219848309-π/2
    1.25090443969662-1.57079632675     		φ = -0.31989189
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16595755} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.508667°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.31989189 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.328455°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34499 KachelY 36163 0.16595755 -0.31989189 9.508667 -18.328455
    Oben rechts KachelX + 1 34500 KachelY 36163 0.16605342 -0.31989189 9.514160 -18.328455
    Unten links KachelX 34499 KachelY + 1 36164 0.16595755 -0.31998290 9.508667 -18.333670
    Unten rechts KachelX + 1 34500 KachelY + 1 36164 0.16605342 -0.31998290 9.514160 -18.333670
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.31989189--0.31998290) × R
    9.10100000000025e-05 × 6371000     		dl = 579.824710000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.31989189--0.31998290) × R
    9.10100000000025e-05 × 6371000     		dr = 579.824710000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16595755-0.16605342) × cos(-0.31989189) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.949269420326019 × 6371000     		do = 579.802152370109m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16595755-0.16605342) × cos(-0.31998290) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.949240797031844 × 6371000     		du = 579.78466961209m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.31989189)-sin(-0.31998290))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.949269420326019-0.949240797031844)×R²
    abs(0.16605342-0.16595755)×2.86232941750786e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.86232941750786e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.86232941750786e-05×40589641000000     		ar = 336178.546619951m²