Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34490 / 36434
↖ ↑ ↗
← S 19.735684°
E  9.459228°		 ← 574.97 m → S 19.735684°
E  9.464722°		 →
↑
574.92 m
↓
↑
574.92 m
↓
S 19.740854°
E  9.459228°		 ← 574.95 m →
330 556 m²		 S 19.740854°
E  9.464722°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34490 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36434 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526283264160156 y=0.555946350097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526283264160156 × 216)
    floor (0.526283264160156 × 65536)
    floor (34490.5)     		tx = 34490
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.555946350097656 × 216)
    floor (0.555946350097656 × 65536)
    floor (36434.5)     		ty = 36434
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34490 / 36434 ti = "16/34490/36434"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34490/36434.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34490 ÷ 216
    34490 ÷ 65536     		x = 0.526275634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36434 ÷ 216
    36434 ÷ 65536     		y = 0.555938720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.526275634765625 × 2 - 1) × π
    0.05255126953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.16509468
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.555938720703125 × 2 - 1) × π
    -0.11187744140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.351473348014252
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16509468} λ = 0.16509468}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.351473348014252))-π/2
    2×atan(0.703650603397942)-π/2
    2×0.613171834112746-π/2
    1.22634366822549-1.57079632675     		φ = -0.34445266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16509468} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.459228°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.34445266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.735684°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34490 KachelY 36434 0.16509468 -0.34445266 9.459228 -19.735684
    Oben rechts KachelX + 1 34491 KachelY 36434 0.16519056 -0.34445266 9.464722 -19.735684
    Unten links KachelX 34490 KachelY + 1 36435 0.16509468 -0.34454290 9.459228 -19.740854
    Unten rechts KachelX + 1 34491 KachelY + 1 36435 0.16519056 -0.34454290 9.464722 -19.740854
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.34445266--0.34454290) × R
    9.02399999999637e-05 × 6371000     		dl = 574.919039999769m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.34445266--0.34454290) × R
    9.02399999999637e-05 × 6371000     		dr = 574.919039999769m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16509468-0.16519056) × cos(-0.34445266) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.941260420202401 × 6371000     		do = 574.970320746014m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16509468-0.16519056) × cos(-0.34454290) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.941229943987956 × 6371000     		du = 574.951704305316m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.34445266)-sin(-0.34454290))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941260420202401-0.941229943987956)×R²
    abs(0.16519056-0.16509468)×3.04762144447412e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.04762144447412e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.04762144447412e-05×40589641000000     		ar = 330556.033582794m²