Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34489 / 36435
↖ ↑ ↗
← S 19.740854°
E  9.453735°		 ← 574.89 m → S 19.740854°
E  9.459228°		 →
↑
574.92 m
↓
↑
574.92 m
↓
S 19.746024°
E  9.453735°		 ← 574.87 m →
330 511 m²		 S 19.746024°
E  9.459228°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34489 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36435 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526268005371094 y=0.555961608886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526268005371094 × 216)
    floor (0.526268005371094 × 65536)
    floor (34489.5)     		tx = 34489
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.555961608886719 × 216)
    floor (0.555961608886719 × 65536)
    floor (36435.5)     		ty = 36435
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34489 / 36435 ti = "16/34489/36435"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34489/36435.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34489 ÷ 216
    34489 ÷ 65536     		x = 0.526260375976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36435 ÷ 216
    36435 ÷ 65536     		y = 0.555953979492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.526260375976562 × 2 - 1) × π
    0.052520751953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.16499881
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.555953979492188 × 2 - 1) × π
    -0.111907958984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.351569221813492
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16499881} λ = 0.16499881}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.351569221813492))-π/2
    2×atan(0.703583144975056)-π/2
    2×0.61312671373689-π/2
    1.22625342747378-1.57079632675     		φ = -0.34454290
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16499881} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.453735°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.34454290 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.740854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34489 KachelY 36435 0.16499881 -0.34454290 9.453735 -19.740854
    Oben rechts KachelX + 1 34490 KachelY 36435 0.16509468 -0.34454290 9.459228 -19.740854
    Unten links KachelX 34489 KachelY + 1 36436 0.16499881 -0.34463314 9.453735 -19.746024
    Unten rechts KachelX + 1 34490 KachelY + 1 36436 0.16509468 -0.34463314 9.459228 -19.746024
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.34454290--0.34463314) × R
    9.02400000000192e-05 × 6371000     		dl = 574.919040000122m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.34454290--0.34463314) × R
    9.02400000000192e-05 × 6371000     		dr = 574.919040000122m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16499881-0.16509468) × cos(-0.34454290) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.941229943987956 × 6371000     		do = 574.891738545616m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16499881-0.16509468) × cos(-0.34463314) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.941199460108833 × 6371000     		du = 574.873119365066m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.34454290)-sin(-0.34463314))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941229943987956-0.941199460108833)×R²
    abs(0.16509468-0.16499881)×3.04838791226336e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.04838791226336e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.04838791226336e-05×40589641000000     		ar = 330510.854392386m²