Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34488 / 36438
↖ ↑ ↗
← S 19.756364°
E  9.448242°		 ← 574.90 m → S 19.756364°
E  9.453735°		 →
↑
574.86 m
↓
↑
574.86 m
↓
S 19.761534°
E  9.448242°		 ← 574.88 m →
330 477 m²		 S 19.761534°
E  9.453735°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34488 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36438 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526252746582031 y=0.556007385253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526252746582031 × 216)
    floor (0.526252746582031 × 65536)
    floor (34488.5)     		tx = 34488
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.556007385253906 × 216)
    floor (0.556007385253906 × 65536)
    floor (36438.5)     		ty = 36438
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34488 / 36438 ti = "16/34488/36438"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34488/36438.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34488 ÷ 216
    34488 ÷ 65536     		x = 0.5262451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36438 ÷ 216
    36438 ÷ 65536     		y = 0.555999755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5262451171875 × 2 - 1) × π
    0.052490234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.16490293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.555999755859375 × 2 - 1) × π
    -0.11199951171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.351856843211212
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16490293} λ = 0.16490293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.351856843211212))-π/2
    2×atan(0.70338080850703)-π/2
    2×0.612991361377248-π/2
    1.2259827227545-1.57079632675     		φ = -0.34481360
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16490293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.448242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.34481360 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.756364°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34488 KachelY 36438 0.16490293 -0.34481360 9.448242 -19.756364
    Oben rechts KachelX + 1 34489 KachelY 36438 0.16499881 -0.34481360 9.453735 -19.756364
    Unten links KachelX 34488 KachelY + 1 36439 0.16490293 -0.34490383 9.448242 -19.761534
    Unten rechts KachelX + 1 34489 KachelY + 1 36439 0.16499881 -0.34490383 9.453735 -19.761534
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.34481360--0.34490383) × R
    9.02300000000245e-05 × 6371000     		dl = 574.855330000156m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.34481360--0.34490383) × R
    9.02300000000245e-05 × 6371000     		dr = 574.855330000156m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16490293-0.16499881) × cos(-0.34481360) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.941138476117973 × 6371000     		do = 574.895831021564m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16490293-0.16499881) × cos(-0.34490383) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.941107972629066 × 6371000     		du = 574.877197920221m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.34481360)-sin(-0.34490383))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941138476117973-0.941107972629066)×R²
    abs(0.16499881-0.16490293)×3.05034889063194e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.05034889063194e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.05034889063194e-05×40589641000000     		ar = 330476.577213006m²