Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34487 / 36437
↖ ↑ ↗
← S 19.751194°
E  9.442749°		 ← 574.85 m → S 19.751194°
E  9.448242°		 →
↑
574.86 m
↓
↑
574.86 m
↓
S 19.756364°
E  9.442749°		 ← 574.84 m →
330 453 m²		 S 19.756364°
E  9.448242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34487 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36437 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526237487792969 y=0.555992126464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526237487792969 × 216)
    floor (0.526237487792969 × 65536)
    floor (34487.5)     		tx = 34487
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.555992126464844 × 216)
    floor (0.555992126464844 × 65536)
    floor (36437.5)     		ty = 36437
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34487 / 36437 ti = "16/34487/36437"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34487/36437.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34487 ÷ 216
    34487 ÷ 65536     		x = 0.526229858398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36437 ÷ 216
    36437 ÷ 65536     		y = 0.555984497070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.526229858398438 × 2 - 1) × π
    0.052459716796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.16480706
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.555984497070312 × 2 - 1) × π
    -0.111968994140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.351760969411972
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16480706} λ = 0.16480706}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.351760969411972))-π/2
    2×atan(0.70344824753022)-π/2
    2×0.613036477368821-π/2
    1.22607295473764-1.57079632675     		φ = -0.34472337
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16480706} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.442749°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.34472337 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.751194°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34487 KachelY 36437 0.16480706 -0.34472337 9.442749 -19.751194
    Oben rechts KachelX + 1 34488 KachelY 36437 0.16490293 -0.34472337 9.448242 -19.751194
    Unten links KachelX 34487 KachelY + 1 36438 0.16480706 -0.34481360 9.442749 -19.756364
    Unten rechts KachelX + 1 34488 KachelY + 1 36438 0.16490293 -0.34481360 9.448242 -19.756364
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.34472337--0.34481360) × R
    9.02300000000245e-05 × 6371000     		dl = 574.855330000156m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.34472337--0.34481360) × R
    9.02300000000245e-05 × 6371000     		dr = 574.855330000156m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16480706-0.16490293) × cos(-0.34472337) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.941168971944644 × 6371000     		do = 574.854497567249m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16480706-0.16490293) × cos(-0.34481360) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.941138476117973 × 6371000     		du = 574.835871089282m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.34472337)-sin(-0.34481360))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941168971944644-0.941138476117973)×R²
    abs(0.16490293-0.16480706)×3.04958266718058e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.04958266718058e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.04958266718058e-05×40589641000000     		ar = 330452.818360059m²