Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34485 / 22058
↖ ↑ ↗
← N 50.590212°
E  9.431763°		 ← 387.81 m → N 50.590212°
E  9.437256°		 →
↑
387.80 m
↓
↑
387.80 m
↓
N 50.586724°
E  9.431763°		 ← 387.84 m →
150 398 m²		 N 50.586724°
E  9.437256°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34485 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22058 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526206970214844 y=0.336585998535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526206970214844 × 216)
    floor (0.526206970214844 × 65536)
    floor (34485.5)     		tx = 34485
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336585998535156 × 216)
    floor (0.336585998535156 × 65536)
    floor (22058.5)     		ty = 22058
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34485 / 22058 ti = "16/34485/22058"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34485/22058.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34485 ÷ 216
    34485 ÷ 65536     		x = 0.526199340820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22058 ÷ 216
    22058 ÷ 65536     		y = 0.336578369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.526199340820312 × 2 - 1) × π
    0.052398681640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.16461531
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336578369140625 × 2 - 1) × π
    0.32684326171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.0268083898616
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16461531} λ = 0.16461531}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0268083898616))-π/2
    2×atan(2.79214017577117)-π/2
    2×1.22688104719985-π/2
    2.4537620943997-1.57079632675     		φ = 0.88296577
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16461531} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.431763°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88296577 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.590212°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34485 KachelY 22058 0.16461531 0.88296577 9.431763 50.590212
    Oben rechts KachelX + 1 34486 KachelY 22058 0.16471119 0.88296577 9.437256 50.590212
    Unten links KachelX 34485 KachelY + 1 22059 0.16461531 0.88290490 9.431763 50.586724
    Unten rechts KachelX + 1 34486 KachelY + 1 22059 0.16471119 0.88290490 9.437256 50.586724
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88296577-0.88290490) × R
    6.08699999999907e-05 × 6371000     		dl = 387.80276999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88296577-0.88290490) × R
    6.08699999999907e-05 × 6371000     		dr = 387.80276999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16461531-0.16471119) × cos(0.88296577) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.634862511182343 × 6371000     		do = 387.806704552334m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16461531-0.16471119) × cos(0.88290490) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.63490953969786 × 6371000     		du = 387.835431990639m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88296577)-sin(0.88290490))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.634862511182343-0.63490953969786)×R²
    abs(0.16471119-0.16461531)×4.70285155167449e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.70285155167449e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.70285155167449e-05×40589641000000     		ar = 150398.084586278m²