Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 34484 / 22436
↖ ↑ ↗
← N 75.560302°
W 85.286865°		 ← 76.16 m → N 75.560302°
W 85.284119°		 →
↑
76.13 m
↓
↑
76.13 m
↓
N 75.559617°
W 85.286865°		 ← 76.16 m →
5 799 m²		 N 75.559617°
W 85.284119°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34484 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22436 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.263095855712891 y=0.171176910400391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.263095855712891 × 217)
    floor (0.263095855712891 × 131072)
    floor (34484.5)     		tx = 34484
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.171176910400391 × 217)
    floor (0.171176910400391 × 131072)
    floor (22436.5)     		ty = 22436
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 34484 / 22436 ti = "17/34484/22436"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/34484/22436.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34484 ÷ 217
    34484 ÷ 131072     		x = 0.263092041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22436 ÷ 217
    22436 ÷ 131072     		y = 0.171173095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.263092041015625 × 2 - 1) × π
    -0.47381591796875 × 3.1415926535     		Λ = -1.48853661
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.171173095703125 × 2 - 1) × π
    0.65765380859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.06608037362442
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.48853661} λ = -1.48853661}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06608037362442))-π/2
    2×atan(7.89382156907004)-π/2
    2×1.44478618982701-π/2
    2.88957237965401-1.57079632675     		φ = 1.31877605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.48853661} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -85.286865°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31877605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.560302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34484 KachelY 22436 -1.48853661 1.31877605 -85.286865 75.560302
    Oben rechts KachelX + 1 34485 KachelY 22436 -1.48848867 1.31877605 -85.284119 75.560302
    Unten links KachelX 34484 KachelY + 1 22437 -1.48853661 1.31876410 -85.286865 75.559617
    Unten rechts KachelX + 1 34485 KachelY + 1 22437 -1.48848867 1.31876410 -85.284119 75.559617
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31877605-1.31876410) × R
    1.19499999999828e-05 × 6371000     		dl = 76.1334499998905m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31877605-1.31876410) × R
    1.19499999999828e-05 × 6371000     		dr = 76.1334499998905m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.48853661--1.48848867) × cos(1.31877605) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.249360924313091 × 6371000     		do = 76.1612448353599m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.48853661--1.48848867) × cos(1.31876410) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.249372496802198 × 6371000     		du = 76.1647793714091m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31877605)-sin(1.31876410))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.249360924313091-0.249372496802198)×R²
    abs(-1.48848867--1.48853661)×1.15724891071034e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.15724891071034e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.15724891071034e-05×40589641000000     		ar = 5798.55287394561m²