Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34483 / 36433
↖ ↑ ↗
← S 19.730513°
E  9.420777°		 ← 574.93 m → S 19.730513°
E  9.426270°		 →
↑
574.98 m
↓
↑
574.98 m
↓
S 19.735684°
E  9.420777°		 ← 574.91 m →
330 569 m²		 S 19.735684°
E  9.426270°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34483 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36433 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526176452636719 y=0.555931091308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526176452636719 × 216)
    floor (0.526176452636719 × 65536)
    floor (34483.5)     		tx = 34483
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.555931091308594 × 216)
    floor (0.555931091308594 × 65536)
    floor (36433.5)     		ty = 36433
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34483 / 36433 ti = "16/34483/36433"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34483/36433.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34483 ÷ 216
    34483 ÷ 65536     		x = 0.526168823242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36433 ÷ 216
    36433 ÷ 65536     		y = 0.555923461914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.526168823242188 × 2 - 1) × π
    0.052337646484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.16442357
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.555923461914062 × 2 - 1) × π
    -0.111846923828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.351377474215012
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16442357} λ = 0.16442357}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.351377474215012))-π/2
    2×atan(0.703718068288633)-π/2
    2×0.613216955949389-π/2
    1.22643391189878-1.57079632675     		φ = -0.34436241
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16442357} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.420777°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.34436241 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.730513°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34483 KachelY 36433 0.16442357 -0.34436241 9.420777 -19.730513
    Oben rechts KachelX + 1 34484 KachelY 36433 0.16451944 -0.34436241 9.426270 -19.730513
    Unten links KachelX 34483 KachelY + 1 36434 0.16442357 -0.34445266 9.420777 -19.735684
    Unten rechts KachelX + 1 34484 KachelY + 1 36434 0.16451944 -0.34445266 9.426270 -19.735684
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.34436241--0.34445266) × R
    9.02500000000139e-05 × 6371000     		dl = 574.982750000089m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.34436241--0.34445266) × R
    9.02500000000139e-05 × 6371000     		dr = 574.982750000089m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16442357-0.16451944) × cos(-0.34436241) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.941290892127885 × 6371000     		do = 574.928964924089m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16442357-0.16451944) × cos(-0.34445266) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.941260420202401 × 6371000     		du = 574.910353044675m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.34436241)-sin(-0.34445266))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941290892127885-0.941260420202401)×R²
    abs(0.16451944-0.16442357)×3.04719254846653e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.04719254846653e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.04719254846653e-05×40589641000000     		ar = 330568.886776267m²