Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3448 / 1063
↖ ↑ ↗
← N 78.844571°
W 28.476563°		 ← 945.41 m → N 78.844571°
W 28.432617°		 →
↑
945.77 m
↓
↑
945.77 m
↓
N 78.836065°
W 28.476563°		 ← 946.12 m →
894 480 m²		 N 78.836065°
W 28.432617°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3448 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1063 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.42095947265625 y=0.12982177734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.42095947265625 × 213)
    floor (0.42095947265625 × 8192)
    floor (3448.5)     		tx = 3448
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.12982177734375 × 213)
    floor (0.12982177734375 × 8192)
    floor (1063.5)     		ty = 1063
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3448 / 1063 ti = "13/3448/1063"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3448/1063.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3448 ÷ 213
    3448 ÷ 8192     		x = 0.4208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1063 ÷ 213
    1063 ÷ 8192     		y = 0.1297607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4208984375 × 2 - 1) × π
    -0.158203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.49700978
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1297607421875 × 2 - 1) × π
    0.740478515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.32628186476208
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49700978} λ = -0.49700978}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32628186476208))-π/2
    2×atan(10.2397977123415)-π/2
    2×1.47344684232899-π/2
    2.94689368465798-1.57079632675     		φ = 1.37609736
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49700978} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.476563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37609736 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.844571°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3448 KachelY 1063 -0.49700978 1.37609736 -28.476563 78.844571
    Oben rechts KachelX + 1 3449 KachelY 1063 -0.49624278 1.37609736 -28.432617 78.844571
    Unten links KachelX 3448 KachelY + 1 1064 -0.49700978 1.37594891 -28.476563 78.836065
    Unten rechts KachelX + 1 3449 KachelY + 1 1064 -0.49624278 1.37594891 -28.432617 78.836065
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37609736-1.37594891) × R
    0.000148449999999967 × 6371000     		dl = 945.774949999788m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37609736-1.37594891) × R
    0.000148449999999967 × 6371000     		dr = 945.774949999788m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49700978--0.49624278) × cos(1.37609736) × R
    0.000767000000000018 × 0.193471198262901 × 6371000     		do = 945.408038169989m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49700978--0.49624278) × cos(1.37594891) × R
    0.000767000000000018 × 0.193616841309623 × 6371000     		du = 946.119731219449m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37609736)-sin(1.37594891))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193471198262901-0.193616841309623)×R²
    abs(-0.49624278--0.49700978)×0.000145643046721738×R²
    0.000767000000000018×0.000145643046721738×6371000²
    0.000767000000000018×0.000145643046721738×40589641000000     		ar = 894479.792400549m²