Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34474 / 32482
↖ ↑ ↗
← N  1.570848°
E  9.371338°		 ← 610.62 m → N  1.570848°
E  9.376831°		 →
↑
610.60 m
↓
↑
610.60 m
↓
N  1.565357°
E  9.371338°		 ← 610.62 m →
372 844 m²		 N  1.565357°
E  9.376831°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34474 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32482 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526039123535156 y=0.495643615722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526039123535156 × 216)
    floor (0.526039123535156 × 65536)
    floor (34474.5)     		tx = 34474
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.495643615722656 × 216)
    floor (0.495643615722656 × 65536)
    floor (32482.5)     		ty = 32482
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34474 / 32482 ti = "16/34474/32482"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34474/32482.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34474 ÷ 216
    34474 ÷ 65536     		x = 0.526031494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32482 ÷ 216
    32482 ÷ 65536     		y = 0.495635986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.526031494140625 × 2 - 1) × π
    0.05206298828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.16356070
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.495635986328125 × 2 - 1) × π
    0.00872802734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0274199065826721
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16356070} λ = 0.16356070}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0274199065826721))-π/2
    2×atan(1.02779929185291)-π/2
    2×0.799106399037314-π/2
    1.59821279807463-1.57079632675     		φ = 0.02741647
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16356070} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.371338°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.02741647 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.570848°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34474 KachelY 32482 0.16356070 0.02741647 9.371338 1.570848
    Oben rechts KachelX + 1 34475 KachelY 32482 0.16365658 0.02741647 9.376831 1.570848
    Unten links KachelX 34474 KachelY + 1 32483 0.16356070 0.02732063 9.371338 1.565357
    Unten rechts KachelX + 1 34475 KachelY + 1 32483 0.16365658 0.02732063 9.376831 1.565357
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.02741647-0.02732063) × R
    9.58399999999998e-05 × 6371000     		dl = 610.596639999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.02741647-0.02732063) × R
    9.58399999999998e-05 × 6371000     		dr = 610.596639999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16356070-0.16365658) × cos(0.02741647) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.999624192127322 × 6371000     		do = 610.621917204732m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16356070-0.16365658) × cos(0.02732063) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.99962681480171 × 6371000     		du = 610.623519269264m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.02741647)-sin(0.02732063))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999624192127322-0.99962681480171)×R²
    abs(0.16365658-0.16356070)×2.62267438877473e-06×R²
    9.58799999999926e-05×2.62267438877473e-06×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.62267438877473e-06×40589641000000     		ar = 372844.180348565m²