Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34468 / 22056
↖ ↑ ↗
← N 50.597186°
E  9.338379°		 ← 387.71 m → N 50.597186°
E  9.343872°		 →
↑
387.74 m
↓
↑
387.74 m
↓
N 50.593699°
E  9.338379°		 ← 387.74 m →
150 335 m²		 N 50.593699°
E  9.343872°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34468 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22056 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525947570800781 y=0.336555480957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525947570800781 × 216)
    floor (0.525947570800781 × 65536)
    floor (34468.5)     		tx = 34468
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336555480957031 × 216)
    floor (0.336555480957031 × 65536)
    floor (22056.5)     		ty = 22056
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34468 / 22056 ti = "16/34468/22056"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34468/22056.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34468 ÷ 216
    34468 ÷ 65536     		x = 0.52593994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22056 ÷ 216
    22056 ÷ 65536     		y = 0.3365478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52593994140625 × 2 - 1) × π
    0.0518798828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.16298546
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3365478515625 × 2 - 1) × π
    0.326904296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.02700013746008
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16298546} λ = 0.16298546}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02700013746008))-π/2
    2×atan(2.79267561327728)-π/2
    2×1.22694190937237-π/2
    2.45388381874475-1.57079632675     		φ = 0.88308749
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16298546} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.338379°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88308749 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.597186°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34468 KachelY 22056 0.16298546 0.88308749 9.338379 50.597186
    Oben rechts KachelX + 1 34469 KachelY 22056 0.16308133 0.88308749 9.343872 50.597186
    Unten links KachelX 34468 KachelY + 1 22057 0.16298546 0.88302663 9.338379 50.593699
    Unten rechts KachelX + 1 34469 KachelY + 1 22057 0.16308133 0.88302663 9.343872 50.593699
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88308749-0.88302663) × R
    6.08599999999404e-05 × 6371000     		dl = 387.73905999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88308749-0.88302663) × R
    6.08599999999404e-05 × 6371000     		dr = 387.73905999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16298546-0.16308133) × cos(0.88308749) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.634768462548737 × 6371000     		do = 387.708813706463m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16298546-0.16308133) × cos(0.88302663) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.634815488041199 × 6371000     		du = 387.737536302137m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88308749)-sin(0.88302663))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.634768462548737-0.634815488041199)×R²
    abs(0.16308133-0.16298546)×4.70254924623825e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.70254924623825e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.70254924623825e-05×40589641000000     		ar = 150335.419462875m²