Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34467 / 34980
↖ ↑ ↗
← S 12.060809°
E  9.332885°		 ← 597.37 m → S 12.060809°
E  9.338379°		 →
↑
597.34 m
↓
↑
597.34 m
↓
S 12.066181°
E  9.332885°		 ← 597.36 m →
356 831 m²		 S 12.066181°
E  9.338379°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34467 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34980 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525932312011719 y=0.533760070800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525932312011719 × 216)
    floor (0.525932312011719 × 65536)
    floor (34467.5)     		tx = 34467
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.533760070800781 × 216)
    floor (0.533760070800781 × 65536)
    floor (34980.5)     		ty = 34980
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34467 / 34980 ti = "16/34467/34980"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34467/34980.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34467 ÷ 216
    34467 ÷ 65536     		x = 0.525924682617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34980 ÷ 216
    34980 ÷ 65536     		y = 0.53375244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525924682617188 × 2 - 1) × π
    0.051849365234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.16288958
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.53375244140625 × 2 - 1) × π
    -0.0675048828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.212072843919128
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16288958} λ = 0.16288958}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.212072843919128))-π/2
    2×atan(0.808905771553719)-π/2
    2×0.680147749138979-π/2
    1.36029549827796-1.57079632675     		φ = -0.21050083
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16288958} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.332885°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.21050083 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -12.060809°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34467 KachelY 34980 0.16288958 -0.21050083 9.332885 -12.060809
    Oben rechts KachelX + 1 34468 KachelY 34980 0.16298546 -0.21050083 9.338379 -12.060809
    Unten links KachelX 34467 KachelY + 1 34981 0.16288958 -0.21059459 9.332885 -12.066181
    Unten rechts KachelX + 1 34468 KachelY + 1 34981 0.16298546 -0.21059459 9.338379 -12.066181
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.21050083--0.21059459) × R
    9.37599999999983e-05 × 6371000     		dl = 597.344959999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.21050083--0.21059459) × R
    9.37599999999983e-05 × 6371000     		dr = 597.344959999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16288958-0.16298546) × cos(-0.21050083) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.977926389096791 × 6371000     		do = 597.367782110785m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16288958-0.16298546) × cos(-0.21059459) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.977906793674418 × 6371000     		du = 597.355812218027m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.21050083)-sin(-0.21059459))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.977926389096791-0.977906793674418)×R²
    abs(0.16298546-0.16288958)×1.95954223730643e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.95954223730643e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.95954223730643e-05×40589641000000     		ar = 356831.059094053m²